羅素悖論

羅素悖論（英語：Russell's paradox），也稱為理髮師悖論、書目悖論，是英國哲學家羅素於1901年提出的悖論，一個關於類的內涵問題。

羅素悖論

我們通常希望：任給一個性質(例如："年滿三十歲"就是一個性質)，滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論：

羅素悖論：設有一性質$P$，並以一性質函數表示：$P(x)$，且其中的自變量$x$有此特性：$x \not \in x$，

現假設由性質$P$能夠確定一個滿足性質$P$的集合$A$——也就是說 $A = \{ x \mid x \not \in x \}$。那麼現在的問題是$A \in A$是否成立？

首先，若$A \in A$，則$A$是$A$的元素，那麼$A$具有性質$P$，由性質函數$P$可以得知$A \not \in A$；

其次，若$A \not \in A$，根據定義，$A$是由所有滿足性質$P$的類組成，也就是說，$A$具有性質$P$，所以$A \in A$。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

理髮師悖論和羅素悖論等價

理髮師悖論和羅素悖論是等價的：

因為，如果把每個人對應一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼，理髮師宣稱，他對應的集合里的元素，都是城裡不屬於自己對應的集合的人，並且城裡所有不屬於自身對應集合的人都屬於理髮師對應的集合，那麼他是否屬於他自己對應的集合？這樣就由理髮師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

羅素悖論與書目悖論等價

另一種等價的悖論為書目悖論，第一類的書的目錄有它自己的條目，經典的例子就是維基百科。第二類的書目錄則沒有它自己的條目，一般的書目都是如此，問：今有一圖書館員，想將第二類的書名編輯成一冊，則將所有第二類書籍名稱統整的該書該不該擁有自己名稱的條目？

假設（1）：擁有自己名稱的條目

假設（2）：不擁有自己名稱的條目 分析：

假設（1）：擁有自己名稱的條目

        表示该书是一本第一类的书
        =>与命题不符（该书目录只有第二类）=>是第二类的书

假設（2）：不擁有自己名稱的條目

        表示该书为一本第二类的书
        =>与命题不符（在目录沒有该书名）=>是第一类的书

因為，如果把每本書對應一個集合，這個集合的元素被定義成這本書分類的方式。那麼，該統整書對應的集合里的元素，都是館內不屬於自己對應的集合的書，並且館內所有不屬於自身對應集合的書都屬於該統整書對應的集合，那麼該書是否屬於它自己對應的集合？這樣就由書目悖論得到羅素悖論。

參考條目

• 理髮師悖論
• 公理化數學
• 類的理論
• 羅素公理體系