相等

在數學的領域中，若兩個數學對象在各個方面都相同，則稱他們是相等的。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作「 $=$ 」； $x=y$ 當且僅當 $x$ 和 $y$ 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式，例如 $6-2=4$ ，即 $6-2$ 與 $4$ 是相等的。

注意，有些時候「 $A=B$ 」並不表示等式。例如， $T(n)=O(n^2)$ 表示在數量級 $n^2$ 上漸進。因為這裡的符號「 $=$ 」不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上， $O(n^2)=T(n)$ 是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。

集合 $A$ 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。實際上，這是 $A$ 上唯一滿足所有這些性質的關係。去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。相應的，給定任意等價關係 $R$ ，可以構造商集 $A/R$ ，並且這個等價關係將『下降為』 $A/R$ 上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。形式化這一說法，可以寫成

對任意

x

和 $y$ ，

x=y

當且僅當對任意謂詞

P

，

P(x)

當且僅當

P(y)

。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意

x

和 $y$ ，若

x

等於 $y$ ，則

P(x)

當且僅當

P(y)

。

這條公理對任意單變量的謂詞 $P$ 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 $x$ 和 $y$ 相等，則它們具有相同的性質。可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意 $x$ ，

x

等於 $x$ 。

則若 $x$ 和 $y$ 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 $P$ 是相同的。這裡謂詞 $P$ 為： $P(z)$ 當且僅當 $x=z$ 。由於 $P(x)$ 成立， $P(y)$ 必定也成立（相同的性質），所以 $x=y$ （' ' $P$ 的變量為 $y$ ）.

等於的一些基本性質

替代性

對任意量 $a$ 和 $b$ 和任意表達式 $F(x)$ ，若 $a = b$ ，則 $F(a) = F(b)$ （設等式兩邊都有意義）。在一階邏輯中，不能量化像 $F$ 這樣的表達式（它可能是個函數謂詞）。一些例子：

對任意實數 $a, b, c$ ，若 $a = b$ ，則 $a + c = b + c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x + c$ ）
對任意實數 $a, b, c$ ，若 $a = b$ ，則 $a - c = b - c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x - c$ ）
對任意實數 $a, b, c$ ，若 $a = b$ ，則 $ac = bc$ （這裡 $F(x)$ 為 $xc$ ）
對任意實數 $a, b, c$ ，若 $a = b$ 且 $c \ne 0$ ，則 $a / c = b / c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x / c$ ）