馬克斯·普朗克
普朗克單位制 是一種計量單位 制度,由德國物理學家馬克斯·普朗克 最先提出,因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制 的一個實例,經過特別設計,使得某些基礎物理常數的值能夠簡化為1,這些基礎物理常數是
萬有引力常數
G
{\displaystyle G\,\!}
,
約化普朗克常數
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
,
在真空裏的光 的光速
c
{\displaystyle c\,\!}
,
庫侖常數
k
e
=
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle k_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\!}
,其中
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0\,\!}
是真空電容率 ,也就是電常數 ,
波茲曼常數
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
。
上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論:
G
{\displaystyle G\,\!}
在廣義相對論 與牛頓 的萬有引力定律 、
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
在量子力學 、
c
{\displaystyle c\,\!}
在狹義相對論 、
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0\,\!}
在靜電學 、
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
在統計力學 與熱力學 。實際上,以上的五個常數在許多物理定律的代數表達式中多次出現,因此引入普朗克單位制可以將這些代數表達式簡化,普朗克單位制也因此成為了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究,特別如量子重力學 中,普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。
基本普朗克單位
每一個單位制都有一組基本單位。(在國際單位制 裏,長度的基本單位是公尺)在普朗克單位制裏,長度的基本單位是普朗克長度 ,時間的基本單位是普朗克時間 ,等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。
表1:基礎物理常數
常數
符號
因次
國際單位等值與不確定度[1]
真空光速
c
{\displaystyle c\,\!}
L
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}\,\!}
299 792 458m s−1
萬有引力常數
G
{\displaystyle G\,\!}
L
3
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^3}{\mathrm{M}\mathrm{T}^2}\,\!}
6.674 08(31)×10−11 m3 kg −1 s−2
約化普朗克常數
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
L
2
M
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\!}
1.054 571 800(13)×10−34 J s
庫侖常數
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\!}
L
3
M
T
2
Q
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^3\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\mathrm{Q}^2}\,\!}
8 987 551 787.368 1764 N m2 C −2
波茲曼常數
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
L
2
M
T
2
Θ
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\Theta}\,\!}
1.380 648 52(79)×10−23 J K −1
字鍵:
L
{\displaystyle \mathrm{L}\,\!}
= 長度 ,
T
{\displaystyle \mathrm{T}\,\!}
= 時間 ,
M
{\displaystyle \mathrm{M}\,\!}
= 質量 ,
Q
{\displaystyle \mathrm{Q}\,\!}
= 電荷 ,
Θ
{\displaystyle \Theta\,\!}
= 溫度 。因為定義的關係,光速與庫侖常數的數值是精確值,不存在誤差。
表2:基本普朗克單位
單位名稱
因次
表達式
國際單位等值與不確定度[1]
普朗克長度
L
{\displaystyle \mathrm{L}\,\!}
l
P
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\,\!}
1.616 229(38)×10−35 m
普朗克質量
M
{\displaystyle \mathrm{M}\,\!}
m
P
=
ℏ
c
G
{\displaystyle m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\,\!}
2.176 470(51)×10−8 kg
普朗克時間
T
{\displaystyle \mathrm{T}\,\!}
t
P
=
l
P
c
=
ℏ
G
c
5
{\displaystyle t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c}= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \,\!}
5.391 16(13)×10−44 s
普朗克電荷
Q
{\displaystyle \mathrm{Q}\,\!}
q
P
=
ℏ
c
4
π
ϵ
0
{\displaystyle q_\text{P} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0} \,\!}
1.875 545 956(41)×10−18 C
普朗克溫度
Θ
{\displaystyle \Theta\,\!}
T
P
=
m
P
c
2
k
=
ℏ
c
5
G
k
2
{\displaystyle T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}}\,\!}
1.416 808(33)×1032 K
使用普朗克單位後,表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1,因此表2的普朗克長度,普朗克質量,普朗克時間,普朗克電荷,與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為
因為
G
=
c
=
ℏ
=
1
4
π
ϵ
0
=
k
B
=
1
{\displaystyle G = c = \hbar = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k_B = 1\,\!}
,所以
l
P
=
m
P
=
t
P
=
q
P
=
T
P
=
1
{\displaystyle l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!}
。
衍生普朗克單位
在任何單位系統裏,許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上,大多數普朗克單位不是太大,就是太小,並不適合於實驗或任何實際用途。
表3:衍生普朗克單位
單位名
因次
表達式
國際單位等值[1]
普朗克面積
L
2
{\displaystyle \mathrm{L}^2\,\!}
l
P
2
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3}\,\!}
2.61223×10−70 m2
普朗克動量
L
M
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\!}
m
P
c
=
ℏ
l
P
=
ℏ
c
3
G
{\displaystyle m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} \,\!}
6.52485kg m/s
普朗克能量
L
2
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\!}
E
P
=
m
P
c
2
=
ℏ
t
P
=
ℏ
c
5
G
{\displaystyle E_P = m_P c^2 = \frac{\hbar}{t_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} \,\!}
1.9561×109 J
普朗克力
L
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\!}
F
P
=
E
P
l
P
=
ℏ
l
P
t
P
=
c
4
G
{\displaystyle F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{\hbar}{l_P t_P} = \frac{c^4}{G} \,\!}
1.21027×1044 N
普朗克功率
L
2
M
T
3
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^3}\,\!}
P
P
=
E
P
t
P
=
ℏ
t
P
2
=
c
5
G
{\displaystyle P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{\hbar}{t_P^2} = \frac{c^5}{G} \,\!}
3.62831×1052 W
普朗克密度
M
L
3
{\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3}\,\!}
ρ
P
=
m
P
l
P
3
=
ℏ
t
P
l
P
5
=
c
5
ℏ
G
2
{\displaystyle \rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{\hbar t_P}{l_P^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} \,\!}
5.15500×1096 kg/m3
普朗克角頻率
1
T
{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{T}}\,\!}
ω
P
=
1
t
P
=
c
5
ℏ
G
{\displaystyle \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \,\!}
1.85487×1043 s−1
普朗克壓力
M
L
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}\mathrm{T}^2}\,\!}
p
P
=
F
P
l
P
2
=
ℏ
l
P
3
t
P
=
c
7
ℏ
G
2
{\displaystyle p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{\hbar}{l_P^3 t_P} =\frac{c^7}{\hbar G^2} \,\!}
4.63309×10113 Pa
普朗克電流
Q
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{T}}\,\!}
I
P
=
q
P
t
P
=
c
6
4
π
ϵ
0
G
{\displaystyle I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}} \,\!}
3.4789×1025 A
普朗克電壓
L
2
M
Q
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}\mathrm{T}^2}\,\!}
V
P
=
E
P
q
P
=
ℏ
t
P
q
P
=
c
4
G
4
π
ϵ
0
{\displaystyle V_P = \frac{E_P}{q_P} = \frac{\hbar}{t_P q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} } \,\!}
1.04295×1027 V
普朗克阻抗
L
2
M
Q
2
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}^2\mathrm{T}}\,\!}
Z
P
=
V
P
I
P
=
ℏ
q
P
2
=
1
4
π
ϵ
0
c
=
Z
0
4
π
{\displaystyle Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{\hbar}{q_P^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} \,\!}
29.9792458 Ω
簡化物理方程式
嚴格地說,不同因次的物理量,雖然它們的數值可能相等,仍舊不能用在相等式的兩邊。但是,在理論物理學裏,為了簡化運算,我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化 。表4展示出普朗克單位怎樣通過無因次化使許多物理方程式變得更簡單。
表4:物理方程式與其無因次形式
通常形式
無因次 的形式
萬有引力定律
F
=
−
G
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!}
F
=
−
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!}
薛丁格方程式
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!}
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!}
−
1
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!}
=
i
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!}
普朗克關係式
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle { E = \hbar \omega } \ \,\!}
E
=
ω
{\displaystyle { E = \omega } \ \,\!}
狹義相對論 的質能方程式
E
=
m
c
2
{\displaystyle { E = m c^2} \ \,\!}
E
=
m
{\displaystyle { E = m } \ \,\!}
廣義相對論 的愛因斯坦場方程式
G
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ \,\!}
G
μ
ν
=
8
π
T
μ
ν
{\displaystyle { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ \,\!}
一個粒子的每個自由度 的熱能
E
=
1
2
k
B
T
{\displaystyle { E = \frac{1}{2} k_B T } \ \,\!}
E
=
1
2
T
{\displaystyle { E = \frac{1}{2} T } \ \,\!}
庫侖定律
F
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!}
F
=
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!}
麥克斯韋方程組
∇
⋅
E
=
1
ϵ
0
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!}
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!}
∇
⋅
E
=
4
π
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ \,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!}
∇
×
B
=
4
π
J
+
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!}
參閱
參考文獻
Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218 . 這是本簡單易解的書.
Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants , ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11 ] , 這篇文章評論基礎物理常數可能隨時間而改變
Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants , Journal of High Energy Physics, 2002, 3 : 023 [2008-09-11 ] , doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023 , 關於到底有幾個最基礎的物理常數的對話
Planck, Max, Über irreversible Strahlungsvorgänge , Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5 : 440–480 [2008-09-11 ] , 除了普朗克電荷與普朗克常數以外,普朗克單位最先出現於這篇文章裡面。
Penrose, Roger. The Road to Reality. New York: Alfred A. Knopf. 2005: Section 31.1. ISBN 0679454438 .
外部連結