斯托爾茲—切薩羅定理

斯托爾茲－切薩羅定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是數學分析學中的一個用於證明數列收歛的定理。該定理以奧地利人奧托·施托爾茨和意大利人恩納斯托·切薩羅命名。

內容

∙/∞ 情況的敘述

令 $(a_n)_{n \geq 1}$ 以及 $(b_n)_{n \geq 1}$ 為兩個實數數列。假設 $(b_n)_{n \geq 1}$ 是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\$

那麼，可以推得極限

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\$

0/0 情況的敘述

令 $(a_n)_{n \geq 1}$ 以及 $(b_n)_{n \geq 1}$ 為兩個實數數列。假設 $(a_n)\to 0$ 以及 $(b_n)\to 0$，並且 $(b_n)_{n \geq 1}$ 是嚴格遞減。如果

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\$

則

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\$

用法說明

該定理雖然主要被用來處理數列不定型極限，但該定理在沒有$\lim_{n \to \infty} a_n= \infty$這一限制條件時也是成立的。雖然該定理通常是以分母$b_n$為正數數列的情形加以敘述的，但注意到該定理對分子$a_n$的正負沒有限制，所以原則上把對數列$b_n$的限制條件替換為「嚴格單調遞減且趨於負無窮大」也是沒有問題的。

與羅必達法則的迭代用法類似，在嘗試應用斯托爾茲－切薩羅定理考察數列的極限時，如果發現兩個數列差分的商仍然是不定型，可以嘗試再使用1次該定理，考察其2階差分之商的極限。

應當注意，當$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$不存在時，不能認定$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$必定也不存在。換句話說，確實有「有窮極限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$存在，但有窮極限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$不存在」的情況（詳見下文針對此逆命題所舉的反例）。

證明

∙/∞的情況

第一種: 已知 $(b_n)$ 為嚴格遞增並發散至 $+\infty$，而且 $-\infty<l<+\infty$，因此我們有 $\forall \epsilon/2 > 0,$ $\exist \nu > 0$ 使得 $\forall n > \nu,$

$\left|\,\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\,\right| < \frac{\epsilon}{2},$

也就是說

$l-\epsilon/2<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<l+\epsilon/2,\,\forall n > \nu.$

因為 $(b_n)$ 是嚴格遞增，所以 $b_{n+1}-b_n>0$。故以下式子成立:

$(l-\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n)<a_{n+1}-a_n<(l+\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n),\,\forall n > \nu.$

接著可以注意到

$a_n = [(a_n-a_{n-1})+\dots+(a_{\nu+2}-a_{\nu+1})]+a_{\nu+1}.$

因此，將剛剛的不等式套入 $a_n$ 的等式中，我們可以得到

$\begin{align} &(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}<a_n\\ &a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}=(l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}$

現在因為當 $n\to+\infty$ 時，$b_n\to+\infty$，因此存在 $n_0>0$ 使得 $\forall n>n_0,$ $b_n>0$。接著在 $a_n$ 的不等式兩邊同除以 $b_n$ 可以得出 $\forall n>\max\{\nu,n_0\},$

$(l-\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l-\epsilon/2)}{b_n}<\frac{a_n}{b_n}<(l+\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l+\epsilon/2)}{b_n}.$

接著我們定義數列

$c^{\pm}_n:=\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}.$

觀察這兩個數列，可以發現因為 $b_n\to+\infty$ 以及分子部分不是變數，所以皆收斂至 $0$。因此我們有 $\forall \epsilon/2>0,$ $\exist n_{\pm}>n_0>0$ 使得

$\begin{align} &|c^+_n|<\epsilon/2,\,\forall n > n_+,\\ &|c^-_n|<\epsilon/2,\,\forall n > n_-. \end{align}$

附註:因為現在只專注在 $c^{\pm}_n$ 本身，並沒有考慮 $c^{\pm}_n$ 與不等式的關係，故 $n$ 不必大於 $\nu$。又因為可能找到一個 $n'\leq n_0$ 使得 $b_{n'}=0$，故 $n$ 一定要大於 $n_0$。
最後，將以上不等式結合起來可以得到 $\forall \epsilon > 0,$ $\exist N:=\max\lbrace\nu,n_{\pm}\rbrace > 0$ 使得

$l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_n < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_n<l+\epsilon,\,\forall n > N.$

亦即，$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=l.$
若 $(b_n)$ 換成是嚴格遞減並發散至 $-\infty$ 的話，其證明的方法和上述的過程類似。

第二種: 已知 $(b_n)$ 為嚴格遞增並發散至 $+\infty$，而且 $l=+\infty$，因此我們有 $\forall 2M > 0,$ $\exist \nu > 0$ 使得 $\forall n > \nu,$

$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M.$

一樣地，將剛剛的不等式套入 $a_n$ 的等式中，我們可以得到

$a_n > 2M(b_n-b_{\nu+1}) + a_{\nu+1},\,\forall n > \nu,$

以及

$\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n},\,\forall n > \max\{\nu,n_0\}.$

接著我們定義的數列

$c_n := \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n}$

會收斂至 $0$，故我們有 $\forall M > 0,$ $\exist \bar{n}>n_0>0$ 使得

$-M < c_n < M,\,\forall n > \bar{n}.$

最後，將以上不等式結合起來可以得到 $\forall M > 0,$ $\exist N:=\max\lbrace\nu,\bar{n}\rbrace > 0$ 使得

$\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_n > M,\,\forall n > N.$

亦即，$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty.$
若考慮 $(b_n)$ 為嚴格遞增或嚴格遞減，以及發散至 $+\infty$ 或 $-\infty$ 的話，其證明的方法皆和上述的過程相同。

0/0的情況

第一種: 已知 $(b_n)$ 為嚴格遞減並收斂至 $0$，而且 $-\infty<l<+\infty$，因此我們有 $\forall \epsilon/2 > 0,$ $\exist n_0 > 0$ 使得 $\forall n > n_0,$

$\left|\,\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\,\right| < \frac{\epsilon}{2},$

也就是說

$l-\epsilon/2<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<l+\epsilon/2,\,\forall n > n_0.$

因為 $(b_n)$ 為嚴格遞減，所以

$(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+1})<a_n-a_{n+1}<(l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+1}),\,\forall n > n_0.$

接著可以注意到對於每一個 $\nu > 0,$

$a_n = [(a_n-a_{n+1})+\dots+(a_{n+\nu-1}-a_{n+\nu})]+a_{n+\nu}.$

因此，將剛剛的不等式套入 $a_n$ 的等式中，我們可以得到

$\begin{align} &(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} < a_n\\ &a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = (l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}$

現在因為 $(b_n)$ 為嚴格遞減並收斂至 $0$，所以可以保證 $b_n>0,\,\forall n\in\mathbb{N}^+.$ 故以下式子成立:

$(l-\epsilon/2)+\frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l-\epsilon/2)}{b_n}<\frac{a_n}{b_n}<(l+\epsilon/2)+\frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l+\epsilon/2)}{b_n},\,\forall n>n_0.$

接著我們定義數列

$c^{\pm}_\nu := \frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}.$

觀察這兩個數列，可以發現若只考慮 $\nu$ 在變動並將其取的很大，則 $c^{\pm}_\nu$ 會收斂至 $0$。因此我們有 $\forall \epsilon/2>0,$ $\exist \nu_{\pm}>0$ 使得

$\begin{align} &|c^+_\nu| < \epsilon/2,\,\forall \nu>\nu_+,\\ &|c^-_\nu| < \epsilon/2,\,\forall \nu>\nu_-. \end{align}$

最後，將以上不等式結合起來可以得到 $\forall \epsilon > 0,$ $\exist n_0 > 0$ 使得

$l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_\nu < \frac{a_n}{b_n} < l+\epsilon/2+c^+_\nu < l+\epsilon,\,\forall n > n_0.$

亦即，$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=l.$

第二種: 已知 $(b_n)$ 為嚴格遞減並收斂至 $0$，而且 $l=+\infty$，因此我們有 $\forall 2M > 0,$ $\exist n_0 > 0$ 使得 $\forall n > n_0,$

$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M \implies a_n-a_{n+1} > 2M(b_n-b_{n+1}).$

一樣地，將剛剛的不等式套入 $a_n$ 的等式中，我們可以得到

$a_n > 2M(b_n-b_{n+\nu}) + a_{n+\nu},\,\forall n > n_0,$

以及因為 $b_n>0,\,\forall n\in\mathbb{N}^+$，所以

$\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n},\,\forall n > n_0.$

接著我們定義的數列

$c_{\nu} := \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n}$

會收斂至 $0$，故我們有 $\forall M > 0,$ $\exist \bar{\nu}>0$ 使得

$-M < c_\nu < M,\,\forall \nu > \bar{\nu}.$

最後，將以上不等式結合起來可以得到 $\forall M > 0,$ $\exist n_0 > 0$ 使得

$\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_\nu > M,\,\forall n > n_0.$

亦即，$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty.$

直觀解釋

利用與折線斜率的類比，該定理具有直觀的幾何意義。

相關命題

這個用於解決數列不定型極限的定理與用於解決函數不定型極限的洛必達法則在形式上非常類似。求數列的差分對應於求函數的導函數，斯托爾茲－切薩羅定理就相當於是洛必達法則的離散化版本。但在類比記憶時應當注意，斯托爾茲－切薩羅定理要求數列要具有嚴格的單調性（或者至少當項數足夠大時，要具有嚴格單調性），而洛必達法則沒有對函數的單調性作出要求；洛必達法則要求函數在所考察點的鄰域上具有可求導性，但斯托爾茲－切薩羅定理對數列不存在類似限制（數列沒有「可差分性」一說）。並非所有的函數都可以進行求導運算，但任何數列都是可以進行差分運算的。

此定理的逆命題不成立。也即當滿足條件的$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$存在時，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$未必存在。如設$a_n = 7n- (-1)^n$，$b_n = 7n- 2\times (-1)^n$，這2個正實數數列都是嚴格單調遞增的且發散至無窮大。易知$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$存在，且數值為1。但是$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{7(n+1)- (-1)^{n+1}- (7n- (-1)^n)}{7(n+1)- 2\times (-1)^{n+1}- (7n- 2\times (-1)^n)} = \frac{7- (-1)^{n+1} + (-1)^n}{7- 2\times (-1)^{n+1} + 2\times (-1)^n}$當$n \to \infty$時是震盪的，即此差分之商的極限值不存在。目前可找出的例子都是藉助震盪型數列構造的，而用於說明洛必達法則的逆命題不成立的例子也用到了震盪型的函數。

推廣

該定理的一個推廣形式如下：

如果$(a_n)_{n\geq 1}$ 和$(b_n)_{n\geq 1}$是兩個數列，而$b_n$是單調無界的，那麼

$\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$

外部連結

• Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 (restricted online copy，第85頁，於Google圖書)
• 奧托·施托爾茨. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten [一般算數講義：新視角]. 萊比錫: B.G.托伊布內出版社 (原出版商)，互聯網檔案館 (存檔網站). 1885: 173–175 （德語）.