约翰逊多面体

J₃₇：异相双四角台塔柱是唯一一个点正的：每个顶点都是三个正方形和一个等边三角形。

J₉₂：三角广底球形屋根丸塔是唯一一个拥有3,4,5,6边形面的

J₆：正五角丸塔，它是半正多面体截半二十面体的一半

J₅：正五角台塔

约翰逊多面体，有译作詹森多面体或庄逊多面体，是指正多面体、半正多面体、棱柱、反棱柱之外，所有由正多边形面组成的凸多面体。这些立体由诺曼·约翰逊在1966年命名；1969年，维克托·查加勒证明只有92个这样的立体。

某些作者把约翰逊多面体定义为“每个面都是正多边形的凸多面体”，也就是把正多面体、半正多面体、正棱柱、正反棱柱，也都当作约翰逊多面体：

• 因为在一个顶点相遇的面，每个面在该顶点的角的角度之和，不大于360°，又因为正多边形的内角至少为60°，故每点最多有五个面在同一顶点。
• 所有约翰逊多面体（棱柱、反棱柱除外）的面都是3，4，5，6，8或10边形。

分类

约翰逊多面体的构成方法之一是将其他由正多边形面组成的凸多面体和下面几种立体的拼合：

• 棱锥：以正三、四、五边形为底而成的角锥。如：正四角锥（J₁）、正五角锥（J₂）
• 台塔（平顶塔）：有两个在空间中平行的正多边形，其中一个的边数是另一个的两倍。在两者间加入三角形和正方形。如：正三角台塔(J₃)、正四角台塔(J₄)、正五角台塔(J₅)。
• 丸塔：有两个在空间中平行的正多边形，其中一个的边数是另一个的两倍。在两者间加入三角形和正五边形。如：正五角丸塔(J₆)、正五角丸塔反角柱(J₂₅)。

另一种方法就是将这个凸多面体“切除”或“加上”一些立体。如：小斜方截半二十面体欠一侧台塔(J₇₆)。

有九个约翰逊多面体不能以这些方法取得。如：球形屋根(J₈₆)及其它。

在“每个面都是正多边形的凸多面体”，的定义下，有n个面的约翰逊多面体的个数为（从n=1开始）：

0, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 7, 3, 6, 4, 7, 3, 13, 2, 5, 4, 6, 1, 9, 2, 6, 1, 4, 1, 8, 4, 2, 1, 3, 1, 10, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 1, 9, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 9, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 9, 1, 2, ... （OEIS中的数列A180916）

在“每个面都是正多边形的凸多面体”，的定义下，有n个顶点的约翰逊多面体的个数为（从n=1开始）：

0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 6, 5, 7, 4, 10, 1, 6, 5, 6, 0, 6, 0, 8, 1, 4, 1, 8, 4, 2, 0, 3, 0, 9, 0, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 5, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 3, 0, 5, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 0, 10, 0, 2, 0, 2, 1, 2, ... （OEIS中的数列A333660）

立体介绍

共有92种立体列于下表，表中J_n代表编号，V为顶点数、E为边数、F为面数、F_n为正n边形面的数量。

棱锥及塔

• 棱锥
• 台塔
• 丸塔

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
1	正四角锥		5	8	5	4	1					C4v
2	正五角锥		6	10	6	5		1				C5v
3	正三角台塔		9	15	8	4	3		1			C3v
4	正四角台塔		12	20	10	4	5			1		C4v
5	正五角台塔		15	25	12	5	5	1			1	C5v
6	正五角丸塔		20	35	17	10		6			1	C5v

锥柱及双锥

• 锥柱
• 锥反角柱
• 双锥
• 双锥柱
• 双反角锥柱

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
7	正三角锥柱		7	12	7	4	3					C3v
8	正四角锥柱		9	16	9	4	5					C4v
9	正五角锥柱		11	20	11	5	5	1				C5v
10	正四角锥反角柱		9	20	13	12	1					C4v
11	正五角锥反角柱		11	25	16	15		1				C5v
12	双三角锥		5	9	6	6						D3h
13	双五角锥		7	15	10	10						D5h
14	双三角锥柱		8	15	9	6	3					D3h
15	双四角锥柱		10	20	12	8	4					D4h
16	双五角锥柱		12	25	15	10	5					D5h
17	双四角锥反角柱		10	24	16	16						D4d

台塔柱及丸柱

• 台塔柱
• 丸塔柱
• 台塔反角柱
• 丸塔反角柱
• 双角柱
• 双台塔
• 台塔丸塔
• 双丸塔
• 双台塔柱
• 台塔丸塔柱
• 双丸塔柱
• 双台塔反角柱
• 双丸塔反角柱

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
18	正三角台塔柱		15	27	14	4	9		1			C3v
19	正四角台塔柱		20	36	18	4	13			1		C4v
20	正五角台塔柱		25	45	22	5	15	1			1	C5v
21	正五角丸塔柱		30	55	27	10	10	6			1	C5v
22	正三角台塔反角柱		15	33	20	16	3		1			C3v
23	正四角台塔反角柱		20	44	26	20	5			1		C4v
24	正五角台塔反角柱		25	55	32	25	5	1			1	C5v
25	正五角丸塔反角柱		30	65	37	30		6			1	C5v
26	异相双三角柱		8	14	8	4	4					D2d
27	同相双三角台塔		12	24	14	8	6					D3h
28	同相双四角台塔		16	32	18	8	10					D4h
29	异相双四角台塔		16	32	18	8	10					D4d
30	同相双五角台塔		20	40	22	10	10	2				D5h
31	异相双五角台塔		20	40	22	10	10	2				D5d
32	同相五角台塔丸塔		25	50	27	15	5	7				C5v
33	异相五角台塔丸塔		25	50	27	15	5	7				C5v
34	同相双五角丸塔		30	60	32	20		12				D5h
35	同相双三角台塔柱		18	36	20	8	12					D3h
36	异相双三角台塔柱		18	36	20	8	12					D3d
37	异相双四角台塔柱		24	48	26	8	18					D4d
38	同相双五角台塔柱		30	60	32	10	20	2				D5h
39	异相双五角台塔柱		30	60	32	10	20	2				D5d
40	同相五角台塔丸塔柱		35	70	37	15	15	7				C5v
41	异相五角台塔丸塔柱		35	70	37	15	15	7				C5v
42	同相双五角丸塔柱		40	80	42	20	10	12				D5h
43	异相双五角丸塔柱		40	80	42	20	10	12				D5d
44	双三角台塔反角柱		18	42	26	20	6					D3
45	双四角台塔反角柱		24	56	34	24	10					D4
46	双五角台塔反角柱		30	70	42	30	10	2				D5
47	五角台塔丸塔反角柱		35	80	47	35	5	7				C5
48	双五角丸塔反角柱		40	90	52	40		12				D5

侧锥柱体

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
49	侧锥三角柱		7	13	8	6	2					C2v
50	二侧锥三角柱		8	17	11	10	1					C2v
51	三侧锥三角柱		9	21	14	14						D3h
52	侧锥五角柱		11	19	10	4	4	2				C2v
53	二侧锥五角柱		12	23	13	8	3	2				C2v
54	侧锥六角柱		13	22	11	4	5		2			C2v
55	双侧锥六角柱		14	26	14	8	4		2			D2h
56	二侧锥六角柱		14	26	14	8	4		2			C2v
57	三侧锥六角柱		15	30	17	12	3		2			D3h

侧锥正多面体

• 侧锥正多面体
• 正多面体欠侧锥

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
58	侧锥正十二面体		21	35	16	5		11				C5v
59	双侧锥正十二面体		22	40	20	10		10				D5d
60	二侧锥正十二面体		22	40	20	10		10				C2v
61	三侧锥正十二面体		23	45	24	15		9				C3v
62	正二十面体欠二侧锥		10	20	12	10		2				C2v
63	正二十面体欠三侧锥		9	15	8	5		3				C3v
64	侧锥正二十面体欠三侧锥		10	18	10	7		3				C3v

侧台塔半正多面体

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
65	侧台塔截角四面体		15	27	14	8	3		3			C3v
66	侧台塔截角立方体		28	48	22	12	5			5		C4v
67	双侧台塔截角立方体		32	60	30	16	10			4		D4h
68	侧台塔截角十二面体		65	105	42	25	5	1			11	C5v
69	双侧台塔截角十二面体		70	120	52	30	10	2			10	D5d
70	二侧台塔截角十二面体		70	120	52	30	10	2			10	C2v
71	三侧台塔截角十二面体		75	135	62	35	15	3			9	C3v
72	侧台塔小斜方截半二十面体		60	120	62	20	30	12				C5v
73	双侧台塔小斜方截半二十面体		60	120	62	20	30	12				D5d
74	二侧台塔小斜方截半二十面体		60	120	62	20	30	12				C2v
75	三侧台塔小斜方截半二十面体		60	120	62	20	30	12				C3v
76	小斜方截半二十面体欠一侧台塔		55	105	52	15	25	11			1	C5v
77	双侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔		55	105	52	15	25	11			1	C5v
78	侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔		55	105	52	15	25	11			1	Cs
79	二侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔		55	105	52	15	25	11			1	Cs
80	小斜方截半二十面体欠双侧台塔		50	90	42	10	20	10			2	D5d
81	小斜方截半二十面体欠二侧台塔		50	90	42	10	20	10			2	C2v
82	侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔		50	90	42	10	20	10			2	Cs
83	小斜方截半二十面体欠三侧台塔		45	75	32	5	15	9			3	C3v

其它

此九个约翰逊多面体不能以切除、增加角锥、台塔、丸塔等方法取得。本段有些立体尚未有中文译名，故暂采日本译名。

Jn	名称	图像	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	点群
84	扭棱锲形体 (Snub disphenoid)		8	18	12	12						D2d
85	变棱四角反角柱 (Snub square antiprism)		16	40	26	24	2					D4d
86	球形屋根 (Sphenocorona)		10	22	14	12	2					C2v
87	侧锥球形屋根 (Augmented sphenocorona)		11	26	17	16	1					Cs
88	加长型球形屋根 (Sphenomegacorona)		12	28	18	16	2					C2v
89	广底加长型球形屋根 (Hebesphenomegacorona)		14	33	21	18	3					C2v
90	五角锥球形屋根 (Disphenocingulum)		16	38	24	20	4					D2d
91	双新月双丸塔 (Bilunabirotunda)		14	26	14	8	2	4				D2h
92	三角广底球形屋根丸塔 (Riangular hebesphenorotunda)		18	36	20	13	3	3	1			C3v

参考资料

• Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
• Victor A. Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN.  The first proof that there are only 92 Johnson solids.

外部链接

• Sylvain Gagnon之"Convex polyhedra with regular faces", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
• Paper Models of Polyhedra
• George W. Hart描述之约翰逊多面体
• 92种立体的图片
• 埃里克·韦斯坦因. Johnson多面體. MathWorld. 
• 约翰逊多面体虚拟模型
• Magnetic Blocks之Educational toy system for making Johnson solids and other polyhedra
• Vladimir Bulatov之约翰逊多面体的虚拟模型