约化质量

在牛顿力学里，约化质量（Reduced mass），也称作折合质量、减缩质量，是出现于二体问题的 “有效”惯性质量。这是一个量纲为质量的物理量，使二体问题能够被变换为一体问题。

假设有两个物体，质量分别为 $m_{1}\!\,$ 与 $m_{2}\!\,$ ，环绕着两个物体的质心运行于各自的轨道。那么，等价的一体问题中，物体的质量就是约化质量 $\mu\!\,$ ，计算的方程为

$\mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\!\,$ 。

这结果可以很容易地证明出来．用牛顿第二定律，物体 2 施于物体 1 的作用力，

$F_{12} = m_1 a_1 \!\,$ 。

物体 1 施于物体 2 的作用力，

$F_{21} = m_2 a_2 \!\,$ 。

依据牛顿第三定律，作用力与反作用力，大小相等，方向相反：

$F_{12} = - F_{21}\!\,$ 。

所以，

$m_1 a_1 = - m_2 a_2 \!\,$ 。

两个物体的相对加速度为

$a=a_1 - a_2=({1+{m_1\over m_2}})a_1 =({{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}})m_1 a_1=\cfrac{F_{12}}{\mu}\!\,$ 。

所以，我们总结，物体 1 的运动，相对于物体 2 ，就好似一个 质量为约化质量 的物体的运动。

• 约化质量通常用希腊字母 $\mu\!\,$ 来标记。
• 这两个物体中，任何一个物体的质量，都大于约化质量。
• 假若物体 1 的质量超大于物体 2 的质量， $m_{1} \gg m_2\!\,$ ，则可以取物体 2 的质量为约化质量的近似值：$m_{2}\approx \mu\!\,$ ；也可以视物体 1 为固定的，只有物体 2 在移动。

参阅

• 开普勒定律
• 三体问题