算子范数 是数学 中泛函分析 里的概念。算子范数衡量的是线性映射 或线性算子 的“大小”,通常指的是两个赋范向量空间 之间的有界线性映射 所构成的空间的范数。
简介与定义
给定两个赋范向量空间E 和F ,假定它们的系数域相同(一般是实数 域
R
{\displaystyle \mathbb{R}}
或复数 域
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
)。从E 到F 的一个线性映射A 是连续的当且仅当存在常数c > 0 使得:
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u \in E, \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E.}
其中的
‖
⋅
‖
E
{\displaystyle \| \cdot \|_E}
和
‖
⋅
‖
F
{\displaystyle \| \cdot \|_F}
分别是空间E 和F 上装备的范数。这个定义说明,连续线性映射将一个E 里面的向量映射到F 中时,其“长度”的改变不会超过c 倍。常数c 是对线性映射A 的“效果”的一个上界估计。所以,有界的集合经过连续映射后的像仍然会是有界集合。因为这一点,连续线性映射也被称作有界算子。而为了“精确计算”线性映射的“大小”,会引进算子范数的定义。有界线性算子的范数是能够作为上界估计的c 所有常数中“最小”的一个:
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
,
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op} = \inf \{c \; ; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E , \; \; \forall u \in E\}.}
其中的
inf
{\displaystyle \inf}
指下确界 。由于实数 集合
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
{\displaystyle \{c; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E \; \forall u \in E\}}
是有下界的闭集 ,定义中的下确界
inf
{\displaystyle \inf}
可以改成“最小元素”:
min
{\displaystyle \min}
。
当F 是E 的系数域时,从E 到F 的连续线性映射被称为连续线性泛函。连续线性泛函构成的空间被称为从E 的对偶空间 ,而连续线性泛函的算子范数被称为对偶范数 。对偶空间在对偶范数下是一个巴拿赫空间 。
例子
考虑两个装备了正则欧几里德范数的欧几里德空间:
R
n
{\displaystyle \mathbb{R}^n}
和
R
m
{\displaystyle \mathbb{R}^m}
,其中
n
,
m
{\displaystyle n, m}
都是正整数。从
R
n
{\displaystyle \mathbb{R}^n}
映射到
R
m
{\displaystyle \mathbb{R}^m}
的有界线性算子(线性映射)都可以用
n
×
m
{\displaystyle n \times m}
的矩阵 来表示。所以这些算子构成的空间实际上是矩阵空间:
M
n
,
m
(
R
)
{\displaystyle \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})}
,而对应的算子范数也称为矩阵范数 。假设某个线性映射对应的矩阵是
A
{\displaystyle A}
,那么它的矩阵范数是
A
∗
A
{\displaystyle A^* A}
的最大特征值 的平方根 ,或者说是
A
{\displaystyle A}
的最大的奇异值 。
对于无限维的赋范空间,常见的例子有平方可加序列空间
ℓ
2
{\displaystyle \ell^2}
。其定义为:
ℓ
2
=
{
(
a
n
)
n
∈
N
;
a
n
∈
C
,
∑
n
|
a
n
|
2
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell^2 = \{ (a_n)_{n \in\mathbb{N}} ; \; \; a_n \in \mathbb{C}, \; \sum_n |a_n|^2 < \infty \}.}
给定一个有界数列
s
=
(
s
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
{\displaystyle s = (s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \ell^\infty}
,考虑从
ℓ
2
{\displaystyle \ell^2}
到自身的线性算子
T
s
{\displaystyle T_s}
:
∀
a
=
(
a
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
2
,
T
(
a
)
=
(
s
n
⋅
a
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle \forall a = (a_n)_{n \in\mathbb{N}} \in \ell^2, \; \; T(a) = (s_n \cdot a_n)_{n \in\mathbb{N}}.}
由于
s
{\displaystyle s}
是有界序列,其范数
‖
s
‖
∞
=
sup
{
|
s
n
|
;
n
∈
N
}
<
+
∞
{\displaystyle \|s \|_\infty = \sup \{ |s_n| ; \; \; n\in\mathbb{N}\} < +\infty}
,所以
‖
T
s
(
a
)
‖
2
⩽
‖
s
‖
∞
‖
a
‖
2
{\displaystyle \| T_s(a) \|_2 \leqslant \|s\|_\infty \| a \|_2}
。
T
{\displaystyle T}
是连续线性算子(有界算子)。而
T
s
{\displaystyle T_s}
的算子范数:
‖
T
s
‖
o
p
=
‖
s
‖
∞
.
{\displaystyle \| T_s \|_{op} = \|s\|_\infty.}
类似的例子还有
L
p
{\displaystyle L^p}
空间 之间的映射。例如考虑平方可积函数的空间
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^2(\mathbb{R})}
,设有从
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^2(\mathbb{R})}
映射到
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^2(\mathbb{R})}
的线性算子
T
f
{\displaystyle T_f}
:
∀
φ
∈
L
2
(
R
)
,
(
T
f
(
φ
)
)
(
t
)
=
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
.
{\displaystyle \forall \varphi \in L^2(\mathbb{R}), \; \; (T_f(\varphi))(t) = f(t)\phi(t).}
其中f 为给定的有界函数。则
T
f
{\displaystyle T_f}
是连续线性算子,其算子范数为:
‖
T
f
‖
o
p
=
‖
f
‖
∞
.
{\displaystyle \| T_f \|_{op} = \|f\|_\infty.}
等价定义
线性算子A 的算子范数除了定义为
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op} = \inf \{c; \; \; \|A(u)\|_F \leqslant c \cdot \|u\|_E \; \forall u \in E\}.}
以外,还可以用以下等价的方式定义[1] :97 :
A 的算子范数是A 在单位闭球上取值的上确界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
≤
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E \le 1\},}
A 的算子范数是A 在单位开球上取值的上确界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
<
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E < 1\},}
A 的算子范数是A 在单位球面上取值的上确界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
=
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op} = \sup\{\|A(u)\|_F ; \; \; u \in E, \; \; \|u\|_E = 1\},}
A 的算子范数是A 在E 中非零元素上取值和元素范数之比的上确界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
‖
u
‖
E
;
u
∈
E
,
u
≠
0
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op} = \sup\{\frac{\|A(u)\|_F}{\|u\|_E} ; \; \; u \in E, \; \; u \neq 0\}.}
性质
算子范数是所有从E 到F 的有界线性算子构成的空间上的范数,因此满足范数的基本性质:
正定性:
‖
A
‖
o
p
⩾
0
{\displaystyle \|A\|_{op} \geqslant 0}
,并且
‖
A
‖
o
p
=
0
{\displaystyle \|A\|_{op} = 0 }
当且仅当
A
=
0.
{\displaystyle A = 0.}
线性性:
∀
a
∈
K
,
‖
a
A
‖
o
p
=
|
a
|
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \forall a \in \mathbb{K}, \; \; \|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op}.}
次可加性:
‖
A
+
B
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
+
‖
B
‖
o
p
.
{\displaystyle \|A + B\|_{op} \leqslant \|A\|_{op} + \|B\|_{op} .}
[1] :98
此外,由算子范数的定义可推出以下不等式:
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
‖
A
‖
o
p
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u \in E, \; \; \|A(u)\|_F \leqslant \|A\|_{op} \|u\|_E .}
[1] :97
有界算子复合后的算子范数仍然存在。假设有从E 到F 的有界线性算子A 以及从F 到G 的有界线性算子B ,那么复合算子B
∘
{\displaystyle \circ}
A 也是从E 到G 的有界线性算子,其算子范数满足不等式:
‖
B
∘
A
‖
o
p
⩽
‖
B
‖
o
p
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \|B \circ A\|_{op} \leqslant \|B\|_{op} \|A\|_{op} .}
[1] :98
例如当A 是E 到自身的有界线性算子时,有:
‖
A
(
n
)
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
n
.
{\displaystyle \|A^{(n)}\|_{op} \leqslant \|A\|^n_{op} .}
如果F 是完备空间 ,那么从E 到F 的有界线性算子构成的空间,在装备了算子范数下是完备的空间。[1] :98
参见
参考来源
↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 译. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 (英语) .