空集公理

正式表述

$(N)$ — ${\displaystyle (\exist A)(\forall x )[\neg(x \in A)] }$

直观上这个公理说：

有着一个集合使得“没有集合”是它的元素。

定理 —
${\displaystyle \vdash (\exists!x)[\, (\forall y)(y\not\in x) \,]}$

证明
假设 $(\forall y)(y\not\in x)$ $(\forall y)(y\not\in t)$ 那根据量词公理(A4)有 $\neg(y \in x)$ $\neg(y \in t)$ 另一方面根据常用的推理性质的(M0)有 $\vdash (y\not\in x) \Rightarrow [\,(y\in x) \Rightarrow (y\in t)\,]$ $\vdash (y\not\in t) \Rightarrow [\,(y\in t) \Rightarrow (y\in x)\,]$ 这样就会有 $(y\in x) \Rightarrow (y\in t)$ $(y\in t) \Rightarrow (y\in x)$ 这样根据(AND)有 $(y\in x) \Leftrightarrow (y\in t)$ 因为前面的 $y$ 在一开始假设里完全被约束，所以对上式以 $y$ 使用(GEN)有 $(\forall y)(y\in x) \Leftrightarrow (y\in t)$ 综上所述 ${\displaystyle (\forall y)(y\not\in x), \, (\forall y)(y\not\in t) \vdash x = t}$ 这样根据普遍化就有 ${\displaystyle \vdash (\forall x)(\forall t)\big\{ [ (\forall y)(y\not\in x) \wedge (\forall y)(y\not\in t) ] \Rightarrow (x = t) \} }$ 再以(AND)综合空集公理，本定理就得证了。 $\Box$

也就是直观上，“空集是唯一存在的”，这样根据函数符号与唯一性，可以在 Zermelo-Fraenkel 集合论加入新的常数符号 $\varnothing$ 和以下的新公理

$(N^{\prime})$ — ${\displaystyle (\forall y)(y\not\in \varnothing) }$

一般所称的空集公理指的是 $(N^{\prime})$ ，而不是据以定义常数符号 $\varnothing$ 的原始公理 $(N)$ 。

我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的，我们可以简单名之为空集，并将其标记为 {} 或 $\varnothing$ 。因此这个公理的本质是：

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命题出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陈述版本中，空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说，有不预设空集存在的另一种公理版本。还有，以一常量符号表示空集的话，借此可以把其他 ZF 公理重写成更简洁的版本；那么无穷公理也会用到这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.