瞬子

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解，无论在量子力学或量子场论，它都是有限的且为非零作用量。更精确地说，它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色：

在路径积分中，用于对物理系统的经典效应进行量子修正。
它们可用于研究许多物理系统的穿隧效应，例如杨-米尔斯理论。

4维杨-米尔斯瞬子

若

$S_{YM} = \int tr(F\wedge *F)$

是杨-米尔斯作用量（其中*是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解：

$\frac{1}{2} \frac{\delta S_{YM}}{\delta A} = d_D F = dF + [A, F] = 0$

其中的 $d_D$ 是外共变导数。因为比安基恒等式

$d_D *F = 0$

若

$F =\pm *F$

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

陈-西蒙斯

第二陈类 / 陈作用量是

$\int_M c_2 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M tr(F^2) =\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M dCS_3 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} CS_3$

在流形M的边界，既然上面的作用量，联络形式也逼近

$A \to 0 \equiv gdg^{-1}$

这是因为

$A \equiv g(d + A)g^{-1}$

而且曲率形式

$F \to 0$

因为陈-西蒙斯形式

$CS_3 = tr(AF - \frac{1}{3}A^3)$

所以

$CS_3 \to - tr(A^3) / 3$

$\int_M c_2 = -\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} tr(A^3) / 3 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3$

若M是R4，其边界是 $\partial M = \partial R^4 = S^3_{\infty}$ ，一个3维球面。因为A是规范群G值的，A在边界定义一个从G到 $S^3$ 的函数。这样的函数是 第三同伦类 $\pi_3(G) = \Z$ 分类的。的确，上面的第二陈数是一个卷绕数。

$\int_M c_2 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3 = \nu \in \Z$

所以若

$S = S_{YM} + \theta \int c_2$

那么威克转动的路径积分成为

$Z = \int dA e^{iS(A)} \to e^{i \theta \nu} \int e^{-S_{YM}}$

通过Bogomol'nyi bound（BPS态），我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。

参见

参考文献

http://www.jstor.org/stable/79638
Coleman, Aspects of Symmetry
Polyakov, Gauge Fields and Strings
Weinberg, QFT Volume 2
Shifman. Advanced topics in QFT
David Tong. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html
Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf