马克斯·普朗克 普朗克单位制 是一种计量单位 制度，由德国物理学家马克斯·普朗克 最先提出，因此命名为普朗克单位制。这种单位制是自然单位制 的一个实例，经过特别设计，使得某些基础物理常数的值能够简化为1，这些基础物理常数是
万有引力常数
G
{\displaystyle G\,\!}
约化普朗克常数
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
在真空里的光 的光速
c
{\displaystyle c\,\!}
库仑常数
k
e
=
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle k_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\!}
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0\,\!}
真空电容率 ，也就是电常数 ，玻尔兹曼常数
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
上述每一个常数都至少出现于一个基本物理理论：
G
{\displaystyle G\,\!}
广义相对论 与牛顿 的万有引力定律 、
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
量子力学 、
c
{\displaystyle c\,\!}
狭义相对论 、
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0\,\!}
静电学 、
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
统计力学 与热力学 。实际上，以上的五个常数在许多物理定律的代数表达式中多次出现，因此引入普朗克单位制可以将这些代数表达式简化，普朗克单位制也因此成为了理论物理学一个非常有用的工具。在统一理论方面的研究，特别如量子引力学 中，普朗克单位制能够给研究者一点大概的提示。
基本普朗克单位 每一个单位制都有一组基本单位。（在国际单位制 里，长度的基本单位是米）在普朗克单位制里，长度的基本单位是普朗克长度 ，时间的基本单位是普朗克时间 ，等等。这些单位都是由表1的五个基础物理常数衍生的。表2展示出这些基本普朗克单位。
表1：基础物理常数
常数
符号
量纲
国际单位等值与不确定度[1]
真空光速
c
{\displaystyle c\,\!}
L
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}\,\!}
299 792 458m s−1
万有引力常数
G
{\displaystyle G\,\!}
L
3
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^3}{\mathrm{M}\mathrm{T}^2}\,\!}
6.674 08(31)×10−11 m3 kg −1 s−2
约化普朗克常数
ℏ
{\displaystyle \hbar\,\!}
L
2
M
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\!}
1.054 571 800(13)×10−34 J s
库仑常数
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\!}
L
3
M
T
2
Q
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^3\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\mathrm{Q}^2}\,\!}
8 987 551 787.368 1764 N m2 C −2
玻尔兹曼常数
k
B
{\displaystyle k_B\,\!}
L
2
M
T
2
Θ
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\Theta}\,\!}
1.380 648 52(79)×10−23 J K −1
字键：
L
{\displaystyle \mathrm{L}\,\!}
长度 ，
T
{\displaystyle \mathrm{T}\,\!}
时间 ，
M
{\displaystyle \mathrm{M}\,\!}
质量 ，
Q
{\displaystyle \mathrm{Q}\,\!}
电荷 ，
Θ
{\displaystyle \Theta\,\!}
温度 。因为定义的关系，光速与库仑常数的数值是精确值，不存在误差。
表2：基本普朗克单位
单位名称
量纲
表达式
国际单位等值与不确定度[1]
普朗克长度
L
{\displaystyle \mathrm{L}\,\!}
l
P
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\,\!}
1.616 229(38)×10−35 m
普朗克质量
M
{\displaystyle \mathrm{M}\,\!}
m
P
=
ℏ
c
G
{\displaystyle m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\,\!}
2.176 470(51)×10−8 kg
普朗克时间
T
{\displaystyle \mathrm{T}\,\!}
t
P
=
l
P
c
=
ℏ
G
c
5
{\displaystyle t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c}= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \,\!}
5.391 16(13)×10−44 s
普朗克电荷
Q
{\displaystyle \mathrm{Q}\,\!}
q
P
=
ℏ
c
4
π
ϵ
0
{\displaystyle q_\text{P} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0} \,\!}
1.875 545 956(41)×10−18 C
普朗克温度
Θ
{\displaystyle \Theta\,\!}
T
P
=
m
P
c
2
k
=
ℏ
c
5
G
k
2
{\displaystyle T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}}\,\!}
1.416 808(33)×1032 K
使用普朗克单位后，表1的五个基础物理常数的数值都约化为1，因此表2的普朗克长度，普朗克质量，普朗克时间，普朗克电荷，与普朗克温度这些计量也都约化为1。这可以无量纲地表达为
因为
G
=
c
=
ℏ
=
1
4
π
ϵ
0
=
k
B
=
1
{\displaystyle G = c = \hbar = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k_B = 1\,\!}
l
P
=
m
P
=
t
P
=
q
P
=
T
P
=
1
{\displaystyle l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!}
衍生普朗克单位 在任何单位系统里，许多物理量的单位是由基本单位衍生的。表3展示了一些在理论物理研究里常见的衍生普朗克单位。实际上，大多数普朗克单位不是太大，就是太小，并不适合于实验或任何实际用途。
表3：衍生普朗克单位
单位名
量纲
表达式
国际单位等值[1]
普朗克面积
L
2
{\displaystyle \mathrm{L}^2\,\!}
l
P
2
=
ℏ
G
c
3
{\displaystyle l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3}\,\!}
2.61223×10−70 m2
普朗克动量
L
M
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\!}
m
P
c
=
ℏ
l
P
=
ℏ
c
3
G
{\displaystyle m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} \,\!}
6.52485kg m/s
普朗克能量
L
2
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\!}
E
P
=
m
P
c
2
=
ℏ
t
P
=
ℏ
c
5
G
{\displaystyle E_P = m_P c^2 = \frac{\hbar}{t_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} \,\!}
1.9561×109 J
普朗克力
L
M
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\!}
F
P
=
E
P
l
P
=
ℏ
l
P
t
P
=
c
4
G
{\displaystyle F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{\hbar}{l_P t_P} = \frac{c^4}{G} \,\!}
1.21027×1044 N
普朗克功率
L
2
M
T
3
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^3}\,\!}
P
P
=
E
P
t
P
=
ℏ
t
P
2
=
c
5
G
{\displaystyle P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{\hbar}{t_P^2} = \frac{c^5}{G} \,\!}
3.62831×1052 W
普朗克密度
M
L
3
{\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3}\,\!}
ρ
P
=
m
P
l
P
3
=
ℏ
t
P
l
P
5
=
c
5
ℏ
G
2
{\displaystyle \rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{\hbar t_P}{l_P^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} \,\!}
5.15500×1096 kg/m3
普朗克角频率
1
T
{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{T}}\,\!}
ω
P
=
1
t
P
=
c
5
ℏ
G
{\displaystyle \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \,\!}
1.85487×1043 s−1
普朗克压力
M
L
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}\mathrm{T}^2}\,\!}
p
P
=
F
P
l
P
2
=
ℏ
l
P
3
t
P
=
c
7
ℏ
G
2
{\displaystyle p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{\hbar}{l_P^3 t_P} =\frac{c^7}{\hbar G^2} \,\!}
4.63309×10113 Pa
普朗克电流
Q
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{T}}\,\!}
I
P
=
q
P
t
P
=
c
6
4
π
ϵ
0
G
{\displaystyle I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}} \,\!}
3.4789×1025 A
普朗克电压
L
2
M
Q
T
2
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}\mathrm{T}^2}\,\!}
V
P
=
E
P
q
P
=
ℏ
t
P
q
P
=
c
4
G
4
π
ϵ
0
{\displaystyle V_P = \frac{E_P}{q_P} = \frac{\hbar}{t_P q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} } \,\!}
1.04295×1027 V
普朗克阻抗
L
2
M
Q
2
T
{\displaystyle \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}^2\mathrm{T}}\,\!}
Z
P
=
V
P
I
P
=
ℏ
q
P
2
=
1
4
π
ϵ
0
c
=
Z
0
4
π
{\displaystyle Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{\hbar}{q_P^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} \,\!}
29.9792458 Ω
简化物理方程 严格地说，不同量纲的物理量，虽然它们的数值可能相等，仍旧不能用在相等式的两边。但是，在理论物理学里，为了简化运算，我们可以把这顾虑放在一边。简化的过程称为无量纲化 。表4展示出普朗克单位怎样通过无量纲化使许多物理方程变得更简单。
表4：物理方程与其无量纲形式
通常形式
无量纲 的形式
万有引力定律
F
=
−
G
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!}
F
=
−
m
1
m
2
r
2
{\displaystyle F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!}
薛定谔方程
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!}
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!}
−
1
2
m
∇
2
ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r},\, t) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!}
=
i
∂
ψ
∂
t
(
r
,
t
)
{\displaystyle =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!}
普朗克关系式
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle { E = \hbar \omega } \ \,\!}
E
=
ω
{\displaystyle { E = \omega } \ \,\!}
狭义相对论 的质能方程
E
=
m
c
2
{\displaystyle { E = m c^2} \ \,\!}
E
=
m
{\displaystyle { E = m } \ \,\!}
广义相对论 的爱因斯坦场方程
G
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ \,\!}
G
μ
ν
=
8
π
T
μ
ν
{\displaystyle { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ \,\!}
一个粒子的每个自由度 的热能
E
=
1
2
k
B
T
{\displaystyle { E = \frac{1}{2} k_B T } \ \,\!}
E
=
1
2
T
{\displaystyle { E = \frac{1}{2} T } \ \,\!}
库仑定律
F
=
1
4
π
ϵ
0
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!}
F
=
q
1
q
2
r
2
{\displaystyle F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!}
麦克斯韦方程组
∇
⋅
E
=
1
ϵ
0
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!}
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!}
∇
⋅
E
=
4
π
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ \,\!}
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!}
∇
×
B
=
4
π
J
+
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!}
参阅 参考文献 Barrow, John D. The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218 Duff, Michael, Comment on time-variation of fundamental constants , ArΧiv e-prints, 2002 [2008-09-11 ] , 这篇文章评论基础物理常数可能随时间而改变 Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, Trialogue on the number of fundamental constants , Journal of High Energy Physics, 2002, 3 : 023 [2008-09-11 ] , doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023 Planck, Max, Über irreversible Strahlungsvorgänge , Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5 : 440–480 [2008-09-11 ] , 除了普朗克电荷与普朗克常数以外，普朗克单位最先出现于这篇文章里面。 Penrose, Roger. The Road to Reality. New York: Alfred A. Knopf. 2005: Section 31.1. ISBN 0679454438 外部链接
