拟等距同构

拟等距同构是数学上度量空间之间的等价关系，着重在度量空间上的粗结构，而忽略掉小尺寸上的细节。这样有如从远处观看度量空间，看到其大概，而察看不出细处的分别。

定义

设有两个度量空间$(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$，并有（未必连续的）映射$f:X \to Y$。若存在常数$L \geq 1$, $C\geq 0$，使得对所有$x_1,x_2\in X$，有

$d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C$

那么称映射f是(L, C)-粗利普希茨的。这条不等式，可视为f在长距离时差不多是L-利普希茨连续的。

若对所有$x_1,x_2\in X$，有

$\frac 1 L d_X(x_1,x_2) - C \leq d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C$

那么称映射f是一个(L, C)-拟等距嵌入。虽然f不一定符合平常意义上的嵌入，即f未必把两个不同的点映射到不同的点上，但是对两个相隔得足够远的点，这两点的像也是不同的。

拟等距映射有两个等价定义：

• 若$f:X \to Y$是(L, C)-粗利普希茨映射，且存在(L, C)-粗利普希茨映射$g:Y \to X$，使得对所有$x\in X$，所有$y\in Y$，都有

$d_X(g(f(x)),x) \leq C$

$d_Y(f(g(y)),y) \leq C$

那么称映射f为(L, C)-拟等距映射。这两条不等式，可视为在长距离时，f, g差不多是互为逆映射。

• f是一个(L, C)-拟等距嵌入，并且对任一点$y\in Y$，都存在$x\in X$使

$d_Y(y,f(x)) \leq C$

那么称映射f为(L, C)-拟等距映射。这条不等式，是说Y中每一点距离X的像f(X)都不超过C。对这定义的f，可以构造前一定义的g如下：对每一点$y\in Y$，取任一个$x\in X$使得$d_Y(y,f(x)) \leq C$，并令$g(y):=x$。

这两个定义中的L, C值可能不同。

两个度量空间$(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$若存在(L, C)-拟等距映射f，则X, Y称为(L, C)-拟等距同构。若常数L, C的值不要紧时，可以简单地称X, Y为拟等距同构。

对度量空间X, Y, Z，如果$f_1:X\to Y$, $f_2:Y\to Z$都是拟等距映射，那么$f_2 \circ f_1:X\to Z$也是拟等距映射。

例子

设函数$f:\mathbb R \to \mathbb Z$，以四舍五入方式，从实数映射到整数上。那么f是一个拟等距映射。按拟等距映射的定义一，可以取L=1, C=1，而$g:\mathbb Z \to \mathbb R$可用g(x)=x。因此$\mathbb R$和$\mathbb Z$是拟等距同构。

对任何正整数n，$\mathbb R^n$和$\mathbb Z^n$间也有类似的拟等距映射，所以$\mathbb R^n$和$\mathbb Z^n$是拟等距同构。

任何两个有界的度量空间都是拟等距同构，在两者间的任何映射都是拟等距映射。

群论上的应用

一个有限生成群G，其中任何两个有限生成集合S, T赋予G两个字度量$d_S$, $d_T$，那么$(G, d_S)$和$(G, d_T)$是拟等距同构。所以纵使G可以有多种不同的字度量，但都对应同一个拟等距同构类。因此，可以定义有限生成群之间的拟等距同构关系。而一般的度量空间中的性质，凡是于拟等距映射下不变的，都可以用为有限生成群的性质。几何群论中的双曲群正是一例。

如果一个有限生成群作用于一个度量空间，并满足一些条件，根据施瓦茨－米尔诺引理，这个群和受其作用的度量空间是拟等距同构。故此可以从研究度量空间，得知群的一些性质。