佩尔方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：

x^2 - ny^2= 1

且 $n$ 为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英国数学家约翰·佩尔命名。

若 $n$ 是完全平方数，则这个方程式只有平凡解 $(\pm 1, 0)$ （实际上对任意的 $n$ ， $(\pm 1, 0)$ 都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由 $\sqrt{n}$ 的连分数求出。

佩尔方程的解

设 $\tfrac{p_i}{q_i}$ 是 $\sqrt{n}$ 的连分数表示： $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]$ 的渐近分数列，由连分数理论知存在 $i$ 使得( $p_i$ , $q_i$ )为佩尔方程的解。取其中最小的 $i$ ，将对应的 ( $p_i$ , $q_i$ )称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作( $x_1, y_1$ )，则所有的解( $x_i$ , $y_i$ )可表示成如下形式：

x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i

。

或者由以下的递推关系式得到：

{\displaystyle \begin{cases} x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,\\ y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i \end{cases} }

。

对于等号右侧不是 1 的非标准形式，取标准形式的最小解进行递推也能得到其各个解。

例子

标准型

\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1

。

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。

第一项：

\tfrac{h}{k} = \tfrac{2}{1}

，

h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!

不是解；

第二项：

\tfrac{h}{k} = \tfrac{3}{1}

，

h^2 - 7 k^2 = 2,\,\!

不是解；

第三项：

\tfrac{h}{k} = \tfrac{5}{2}

，

h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!

不是解；

第四项：

\tfrac{h}{k} = \tfrac{8}{3}

，

h^2 - 7 k^2 = 1.\,\!

是解。于是最小解是(8,3)。计算

x_1 + y_1\sqrt n

的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解

{\displaystyle \begin{cases} x_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n+(8-3\sqrt{7})^n}{2},\\ y_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}} \end{cases}}

(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非标准型

对于方程 $x^2-ny^2=k$ ，利用婆罗摩笈多-斐波那契恒等式找出方程解。

(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2

例如 $x^2-7y^2=2$ 有解(3,1)。

$r^2-7s^2=1$ 时，有 $2=(3r+7s)^2-7(3s+r)^2=(3r-7s)^2-7(3s-r)^2$

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

对于方程 $ax^2-by^2=c$ ，两边乘上a，求出 $(ax)^2-aby^2=ac$ 的解。

例如 $5x^2-2y^2=3$ 有解(1,1)。

设 $z=5x$ ， $(5x)^2-10y^2=z^2-10y^2=15$

$r^2-10s^2=1$ 时，有 $15=(5r+10s)^2-10(5s+r)^2=(5r-10s)^2-10(5s-r)^2$

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

与代数数论的联系

佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式 $x^2 - n y^2 = (x + y\sqrt n)(x - y\sqrt n)$ 给出了环 $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ （即二次域 $\mathbb{Z}(\sqrt{n})$ ）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅 $x+y \sqrt{n}$ 的范数是一，即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理， $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ 的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。