二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素:二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。
如在运算1+2之中,二元运算符为“+”,而该运算符作用的操作数分别为1与2。
二元运算只是二元函数的一种,由于它被广泛应用于各个领域,因此受到比其它函数更高的重视。
定义
给定集合 ,二元函数 F 称为集合 上的二元运算。给定集合 中两个元素
、,则按顺序通常写为 F 或者
F。更多时候,二元运算会采用某种运算符,而不是字母作为标记。
可以看出,“集合 上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在 上封闭。
常用性质和术语
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设 : 是集合 上的二元运算,,则:
- 称 为 在 下的左幺元,若 满足:;
- 称 为 在 下的右幺元,若 满足:;
- 称 为 在 下的幺元,若 满足: 既是 在二元运算 下的左幺元,又是 在二元运算 下的右幺元。
设: 是集合上的二元运算,,是在下的幺元。则:
- 称是在下的左逆元,若满足:。
- 称是在下的右逆元,若满足:。
- 称是在下的逆元,若满足:a既是在下的左逆元,又是在下的右逆元。(显然此时也是的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素的逆元通常记为。
设: 是集合上的二元运算,,则:
- 称为在下的左零元,若满足:;
- 称为在下的右零元,若满足:;
- 称为在下的零元,若满足:z既是在下的左零元,又是在下的右零元。
设: 是集合上的二元运算,且,是在下的零元。则:
- 称是中在下的左零因子,若满足:,使。
- 称是中在下的右零因子,若满足:,使。
- 称为在下的零因子,若满足:a既是在下的左零因子,又是在下的右零因子。
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足交换律,若满足:;
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足结合律,若满足:;
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足左消去律,若满足:
称满足右消去律,若满足:
称满足消去律,若同时满足左消去律与右消去律。
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足幂等律,若满足:;
幂幺律
设: 是集合上的二元运算,i是在下的幺元,
则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);
幂零律
设: 是集合上的二元运算,z是在下的零元,
则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);
设: 和 : 是集合上的两个二元运算,则:
- 称对 满足左分配律,若, 满足:,有;
- 称对 满足右分配律,若, 满足:,有;
- 称对 满足分配律,若对 满足左分配律以及右分配律;