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'''瞬子'''(instanton)来自于[[运动方程式]]的经典解,无论在[[量子力学]]或[[量子场论]],它都是有限的且为非零作用量。更精确地说,它是[[欧氏空间]]中[[经典场论]]运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色: * 在[[路径积分]]中,用于对物理系统的经典效应进行[[量子修正]]。 * 它们可用于研究许多物理系统的[[穿隧效应]],例如[[杨-米尔斯理论]]。 == 4维杨-米尔斯瞬子 == 若 <math>S_{YM} = \int tr(F\wedge *F) </math> 是杨-米尔斯作用量(其中*是[[霍奇对偶]]),4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解: <math>\frac{1}{2} \frac{\delta S_{YM}}{\delta A} = d_D F = dF + [A, F] = 0 </math> 其中的<math>d_D </math>是[[外共变导数]]。因为'''[[比安基恒等式]]''' <math>d_D *F = 0 </math> 若 <math>F =\pm *F </math> 我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括[[BPST瞬子]]。 === 陈-西蒙斯 === 第二[[陈类]] / 陈作用量是 <math>\int_M c_2 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M tr(F^2) =\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M dCS_3 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} CS_3 </math> 在流形M的边界,既然上面的作用量,[[联络形式]]也逼近 <math>A \to 0 \equiv gdg^{-1}</math> 这是因为 <math>A \equiv g(d + A)g^{-1}</math> 而且[[曲率形式]] <math>F \to 0 </math> 因为[[陈-西蒙斯形式]] <math>CS_3 = tr(AF - \frac{1}{3}A^3) </math> 所以 <math>CS_3 \to - tr(A^3) / 3 </math> <math>\int_M c_2 = -\frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} tr(A^3) / 3 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3 </math> 若M是R4,其边界是<math>\partial M = \partial R^4 = S^3_{\infty} </math>,一个3维[[球面]]。因为A是规[[范群场论|范群]]G值的,A在边界定义一个从G到<math>S^3 </math>的函数。这样的函数是 '''第三[[同伦]]类''' <math>\pi_3(G) = \Z </math>分类的。的确,上面的第二陈数是一个[[卷绕数]]。 <math>\int_M c_2 = \frac{1}{24\pi^2} \int_{\partial M} tr(gdg^{-1})^3 = \nu \in \Z </math> 所以若 <math>S = S_{YM} + \theta \int c_2 </math> 那么[[威克转动]]的[[路径积分]]成为 <math>Z = \int dA e^{iS(A)} \to e^{i \theta \nu} \int e^{-S_{YM}} </math> 通过Bogomol'nyi bound([[BPS态]]),我们可以用卷绕数分类[[BPST瞬子]]。 == 参见 == * [[BPST瞬子]] * [[BPS态]] * [[磁单极子]] * [[孤子]] == 参考文献 == * http://www.jstor.org/stable/79638 * Coleman, Aspects of Symmetry * Polyakov, Gauge Fields and Strings * Weinberg, QFT Volume 2 * Shifman. Advanced topics in QFT * David Tong. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html * Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf {{量子场论}} {{String theory}} [[Category:量子场论]] [[Category:微分几何]] [[Category:量子色动力学]] [[Category:陈-西蒙斯理论]]
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