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[[数学]]上,两个[[集合 (數學)|集合]]<math>A</math>和<math>B</math>的'''交集'''是含有所有既属于''<math>A</math>''又属于''<math>B</math>''的元素,而没有其他元素的集合。 == 基本定义 == [[File:set_intersection.png|缩略图|A和<math>B</math>的交集]] <math>A</math>和<math>B</math>的交集写作「<math>A\cap B</math>」。形式上: :<math>x</math>属于<math>A\cap B</math>[[当且仅当]] :* <math>x</math>属于<math>A</math>[[且]]<math>x</math>属于<math>B</math>。 例如:集合<math>\{1,2,3\}</math>和<math>\{2,3,4\}</math>的交集为<math>\{2,3\}</math>。数字<math>9</math>'''不属于'''[[素数]]集合<math>\{2,3,5,7,11,\ldots \}</math>和奇数集合<math>\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}</math>的交集。 若两个集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集为[[空集|空]],就是说它们彼此没有-{zh-hans:公共元素; zh-tw:相同的元素;}-,则他们'''不相交''',写作:<math>A\cap B = \varnothing</math>。例如集合<math>\{1,2\}</math>和<math>\{3,4\}</math>不相交,写作<math>\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing</math>。 更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合<math>A,B</math>,<math>C</math>和<math>D</math>的'''交集'''为<math>A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))</math>。交集运算满足[[结合律]]。即: :<math>A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C</math> == 任意交集 == 以上定義可推廣到任意'''非空'''集合的集合的交集。若 M 是一个[[空集|非空]]集合,其元素本身也是集合,则<math>x</math>属于 M 的'''交集''',[[当且仅当]]对[[全称量化|任意]] M 的元素<math>A,x</math>属于<math>A</math>。符号表示为: :<math>\left(x\in\bigcap\mathbf{M}\right)\leftrightarrow\left(\forall A\in\mathbf{M}, x\in A\right)</math>。 这一概念也蕴涵了前述的定義,例如,<math>A\cap B\cap C</math>是集合<math>{A,B,C}</math>的交集。 (若 M 为空集,有时候談論它的交集也是有意義的,请见[[空交集]]。) 这一概念的表示符號有多種。 [[集合论]]者有时用<math>\bigcap M</math>,有时用<math>\bigcap_{A\in M }A</math>。后一种写法可以一般化为<math>\bigcap_{i\in I} A_{i}</math>,表示集合<math>\{A_{i} :i \in I\}</math>的交集。这里<math>I</math>非空,而對於每個<math>I</math>裡的<math>i,A_{i}</math>是一个集合。 当[[索引集]]<math>I</math>为[[自然数]]集合时,这种符号表示与[[无限序列]]相类似: :<math>\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i</math> 为了排版方便,上述符号也可以写成"<math>A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots</math>",儘管嚴格說來,像<math>A_{1} \cap (A_{2} \cap (A_{3} \cap \ldots</math>這樣的寫法是無意義的。(这个例子是[[可数]]个集合的交集,相當常用,可以参看[[求和符號|<math>\sigma</math>-代数]]條目中的例子。) 最后,注意当符号<math>\cap</math>写在其他符号'''之前''',而不是'''之间'''的时候,需要写得大一号。(在[[HTML]]中,可以使用[[字体]]<code>⋂</code>,或者尝试<code><big>∩</big></code>。) == 参见 == * [[朴素集合论]] * [[并集]] * [[补集]] * [[对称差]] {{集合论}} [[Category:抽象代数|J]] [[Category:集合論基本概念|J]] [[Category:二元运算]]
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