《電磁場的動力學理論 》(英語:A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field )是一篇詹姆斯·馬克士威 發於1864年的論文,這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學 的論文。在這篇論文裏,他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線 》裏提出的位移電流 的概念,來推導出電磁波方程式 。由於這導引將電學 、磁學 和光學 聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史 的重大里程碑。
這篇論文明確地闡明,能量儲存於電磁場內。因此,它在歷史上首先建立了場論 的基礎概念。[1]
馬克士威原本的方程式
在這篇論文的標題為電磁場一般方程式 的第三章裏,馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式,在那時期,稱為馬克士威方程組 。由於向量微積分 尚在發展中,這二十個方程式都是以分量形式表示,其中,有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示(對應於每一個直角坐標,有一個方程式),另外剩下的兩個是純量方程式。所以,以向量標記,馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年,從這八個方程式,奧利弗·黑維塞 重新編排出四個方程式,並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。
黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏,只有一個方程式,高斯定律 的方程式(G),完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式,乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理 的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流 ,是安培環路定理的延伸。
以向量標記,馬克士威方程組的原先版本的八個方程式,分別寫為
(A) 總電流定律
J
t
o
t
=
J
+
∂
D
∂
t
{\displaystyle \mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}
、
(B) 磁場方程式
μ
H
=
∇
×
A
{\displaystyle \mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}}
、
(C) 安培環路定理
∇
×
H
=
J
t
o
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}}
、
(D) 勞侖茲力方程式
E
=
μ
v
×
H
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi }
、
(E) 電彈性方程式
E
=
1
ϵ
D
{\displaystyle \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}}
、
(F) 歐姆定律
E
=
1
σ
J
{\displaystyle \mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}}
、
(G) 高斯定律
∇
⋅
D
=
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho}
、
(H) 連續方程式
∇
⋅
J
=
−
∂
ρ
∂
t
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}}
。
標記符號:
H
{\displaystyle \mathbf{H}}
是磁場強度 ,
J
{\displaystyle \mathbf{J}}
是傳導電流密度 ,
J t o t {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}} 是總電流密度 (包括位移電流密度),
D
{\displaystyle \mathbf{D}}
是電位移 ,
ρ
{\displaystyle \rho}
是自由電荷 密度,
A
{\displaystyle \mathbf{A}}
是磁向量勢 ,
E
{\displaystyle \mathbf{E}}
是電場 ,
ϕ
{\displaystyle \phi}
是電位 ,
μ
{\displaystyle \mu}
是磁導率 ,
ϵ
{\displaystyle \epsilon}
是電容率 ,
σ
{\displaystyle \sigma}
是電導率 。
關於介質 的性質,馬克士威並沒有試著處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質;他也稍微談到一些有關異向性的晶體 物質的問題。
值得注意的是,馬克士威將 μ v × H {\displaystyle \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}} 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度
v
{\displaystyle \mathbf{v}}
移動的導體 所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢 。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力 。這方程式最先出現為論文《論物理力線 》的方程式(77),比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在,勞侖茲力方程式 列為馬克士威方程組之外的額外方程式,並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。
光波是電磁波
馬克士威,電磁學之父
在論文《電磁場的動力學理論》裏,馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線 》第三節裏對於安培環路定理的修正,將位移電流 與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式 。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說[2] :
這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。 — 詹姆斯·馬克士威
馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏,並沒有使用法拉第電磁感應定律 ,而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體 的運動,項目 μ v × H {\displaystyle \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}} 可以被刪除。事實上,他的八個方程式裏,並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。
由於馬克士威的推導比較冗長,現代的教科書已不再採用這推導,改而選擇另一種比較簡易了解的推導,這推導主要是使用馬克士威-安培定律 (安培環路定理的延伸)與法拉第電磁感應定律。
馬克士威的推導
假設電磁波是一個平面波 ,以波速
V
{\displaystyle V}
向正z-軸的方向傳播於某介質,則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 w = z − V t {\displaystyle w=z - Vt} 。根據磁向量定義式(B),
B = − x ^ ∂ A y ∂ z + y ^ ∂ A x ∂ z {\displaystyle \mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}} ;
其中,B = d e f μ H {\displaystyle B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}} 是磁感應強度 的定義式。
注意到 B z = 0 {\displaystyle B_z=0} , 還有,
B
{\displaystyle \mathbf{B}}
垂直於平面波的傳播方向,這電磁波是個橫波 。
根據安培環路定理(C),
J t o t = − x ^ ∂ H y ∂ z + y ^ ∂ H x ∂ z = − 1 μ ( x ^ ∂ 2 A x ∂ z 2 + y ^ ∂ 2 A y ∂ z 2 ) {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}
= - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)} ;
假設介質是個絕緣體 ,傳導電流密度
J
{\displaystyle \mathbf{J}}
等於零,則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E),
J t o t = ∂ D ∂ t = ϵ ∂ E ∂ t {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}} ;
假設導體的速度等於零,即動生電動勢項目等於零,則根據合勢方程式(D),
∂ 2 A x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 A x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 A y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 A y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0} 。
再應用磁向量定義式(B),就可以得到磁場的波動方程式:
∂ 2 B x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 B x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 B y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 B y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0} 。
鏈式法則 要求
∂ ∂ z = ∂ w ∂ z d d w = d d w {\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} 、
∂ ∂ t = ∂ w ∂ t d d w = − V d d w {\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} 。
所以,
d 2 B x d w 2 − μ ϵ V 2 d 2 B x d w 2 = 0 {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0} 、
d 2 B y d w 2 − μ ϵ V 2 d 2 B y d w 2 = 0 {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0} 。
傳播的速度為
V = 1 / μ ϵ {\displaystyle V=1/\sqrt{\mu\epsilon}} 。
設定磁導率為磁常數
μ
0
{\displaystyle \mu_0}
,電容率為電常數
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0}
,則傳播速度是電磁波傳播於自由空間 的速度。
類似地,應用合勢方程式(D),可以得到電場的波動方程式:
∂ 2 E x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 E y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0} 、
E z = − ∂ A z ∂ t − ∂ ϕ ∂ z {\displaystyle E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}} 。
注意到,
E
z
{\displaystyle E_z}
可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前,馬克士威不排除電場波為縱波 的可能性。
現代推導
在自由空間 裏,黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = 0}
、(1)
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}} 、(2)
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0}
、(3)
∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}} ;(4)
其中,
μ
0
{\displaystyle \mu_0}
是磁常數 ,
ε
0
{\displaystyle \varepsilon_0}
是電常數 。
分別取公式 (2) 、(4) 的旋度 ,
∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} } 、
∇ × ( ∇ × B ) = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = − μ o ε o ∂ 2 B ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} } 。
應用一則向量恆等式
∇ × ( ∇ × Z ) = ∇ ( ∇ ⋅ Z ) − ∇ 2 Z {\displaystyle \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}} ;
其中,Z {\displaystyle \mathbf{Z} } 是任意向量函數。
將公式 (1) 、(3) 代入,即可得到波動方程式:
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 {\displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0} 、(5)
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 {\displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0} ;(6)
其中,c = c 0 = 1 μ 0 ε 0 = 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 } [公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間 的速度。
參閱
參考文獻
↑ Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory. Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585 .
↑ 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field: pp. 499, 1864
Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5
Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk Maxwell Vol. 1 , New York: Dover, 1952