单位根：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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[[File:3rd roots of unity.svg |缩略图|右|复平面上的三次单位根]]

[[数学]]上，'''<math>\,n\,</math>次单位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]为[[1]]的[[复数 (数学)|复数]]。它们位于[[复平面]]的[[单位圆]]上，构成[[正多边形]]的[[顶点 (几何)|顶点]]，但最多只可有~~两个顶点~~同时标在[[~~实数线~~]]上。

[[数学]]上，'''<math>\,n\,</math>次單位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]為[[1]]的[[复数 (数学)|複數]]。它們位於[[复平面]]的[[单位圆]]上，構成[[正多边形]]的[[頂點 (幾何)|頂點]]，但最多只可有兩個頂點同時標在[[實數線]]上。

== 定义 ==

第6行：

:<math>z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )</math>

这方程的复数根 <math>z \,</math>为'''<math>n \,</math>次单位根'''。

这方程的複數根 <math>z \,</math>為'''<math>n \,</math>次單位根'''。

单位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>个：

單位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>個：

:<math>e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>。

第14行：

== 本原根 ==

单位的 <math>n \,</math>次根以乘法构成<math>n</math>阶[[循环群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''单位根。<math>n \,</math>次本原单位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>，其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互质]]。<math>n\,</math>次本原单位根数目为[[欧拉函数]]<math>\varphi (n)</math>。

單位的 <math>n \,</math>次根以乘法構成<math>n</math>階[[循環群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''單位根。<math>n \,</math>次本原單位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>，其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互質]]。<math>n\,</math>次本原單位根數目為[[歐拉函數]]<math>\varphi (n)</math>。

== 例子 ==

一次单位根有一个: <math>1 \,</math>。

一次單位根有一個: <math>1 \,</math>。

二次单位根有两个: <math>+1\,</math>和<math>-1\,</math>，只有<math>-1\,</math>是本原根。

二次單位根有兩個: <math>+1\,</math>和<math>-1\,</math>，只有<math>-1\,</math>是本原根。

[[立方根|三次单位根]]是

:<math>\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,</math>

其中<math> {\mathrm{i}} \,</math>是[[虚数单位]]；除<math>1\,</math>外都是本原根。

其中<math> {\mathrm{i}} \,</math>是[[虚數單位]]；除<math>1\,</math>外都是本原根。

四次单位根是

四次單位根是

:<math>\left\{ 1, +{i}, -1, -{i} \right\} ,</math>

第35行：

== 和式 ==

当<math>n\,</math>不小于<math>2\,</math>时，<math>n\,</math>次单位根总和为<math>0\,</math>。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是[[等比级数]]：

當<math>n\,</math>不小於<math>2\,</math>时，<math>n\,</math>次單位根總和為<math>0\,</math>。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是[[等比級數]]：

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0</math>。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而~~从对称~~性知这多边形的[[几何中心|重心]]在原点。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的[[几何中心|重心]]在原點。

:

还有一个证法利用关于方程根~~与系数~~的[[韦达定理]]，由分圆方程的<math>x^{n-1}\,</math>~~项系数为~~零得出。

還有一個證法利用關於方程根與係數的[[韋達定理]]，由分圓方程的<math>x^{n-1}\,</math>項係數為零得出。

[[Category:一]]

[[Category:代数数|D]]

[[Category:代數數|D]]

[[Category:多项式|D]]

[[Category:多項式|D]]

[[Category:分圆域]]

[[Category:分圓域]]

[[Category:复数|D]]

[[Category:複數|D]]

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 [[File:3rd roots of unity.svg |缩略图|右|复平面上的三次单位根]]
-[[数学]]上，'''<math>\,n\,</math>次单位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]为[[1]]的[[复数 (数学)|复数]]。它们位于[[复平面]]的[[单位圆]]上，构成[[正多边形]]的[[顶点 (几何)|顶点]]，但最多只可有两个顶点同时标在[[实数线]]上。
+[[数学]]上，'''<math>\,n\,</math>次單位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]為[[1]]的[[复数 (数学)|複數]]。它們位於[[复平面]]的[[单位圆]]上，構成[[正多边形]]的[[頂點 (幾何)|頂點]]，但最多只可有兩個頂點同時標在[[實數線]]上。
 == 定义 ==
@@ 第6行： / 第6行： @@
 :<math>z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots  )</math>
-这方程的复数根 <math>z \,</math>为'''<math>n \,</math>次单位根'''。
+这方程的複數根 <math>z \,</math>為'''<math>n \,</math>次單位根'''。
-单位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>个：
+單位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>個：
 :<math>e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>。
@@ 第14行： / 第14行： @@
 == 本原根 ==
-单位的 <math>n \,</math>次根以乘法构成<math>n</math>阶[[循环群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''单位根。<math>n \,</math>次本原单位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>，其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互质]]。<math>n\,</math>次本原单位根数目为[[欧拉函数]]<math>\varphi (n)</math>。
+單位的 <math>n \,</math>次根以乘法構成<math>n</math>階[[循環群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''單位根。<math>n \,</math>次本原單位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>，其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互質]]。<math>n\,</math>次本原單位根數目為[[歐拉函數]]<math>\varphi (n)</math>。
 == 例子 ==
-一次单位根有一个: <math>1 \,</math>。
+一次單位根有一個: <math>1 \,</math>。
-二次单位根有两个: <math>+1\,</math>和<math>-1\,</math>，只有<math>-1\,</math>是本原根。
+二次單位根有兩個: <math>+1\,</math>和<math>-1\,</math>，只有<math>-1\,</math>是本原根。
 [[立方根|三次单位根]]是
 :<math>\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,</math>
-其中<math> {\mathrm{i}} \,</math>是[[虚数单位]]；除<math>1\,</math>外都是本原根。
+其中<math> {\mathrm{i}} \,</math>是[[虚數單位]]；除<math>1\,</math>外都是本原根。
-四次单位根是
+四次單位根是
 :<math>\left\{ 1, +{i}, -1, -{i} \right\} ,</math>
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 == 和式 ==
-当<math>n\,</math>不小于<math>2\,</math>时，<math>n\,</math>次单位根总和为<math>0\,</math>。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是[[等比级数]]：
+當<math>n\,</math>不小於<math>2\,</math>时，<math>n\,</math>次單位根總和為<math>0\,</math>。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是[[等比級數]]：
 :<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0</math>。
-第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的[[几何中心|重心]]在原点。
+第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的[[几何中心|重心]]在原點。
 :
-还有一个证法利用关于方程根与系数的[[韦达定理]]，由分圆方程的<math>x^{n-1}\,</math>项系数为零得出。
+還有一個證法利用關於方程根與係數的[[韋達定理]]，由分圓方程的<math>x^{n-1}\,</math>項係數為零得出。
 [[Category:一]]
-[[Category:代数数|D]]
+[[Category:代數數|D]]
-[[Category:多项式|D]]
+[[Category:多項式|D]]
-[[Category:分圆域]]
+[[Category:分圓域]]
-[[Category:复数|D]]
+[[Category:複數|D]]