Γ函数：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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第5行：

|2=zh-hans:函数; zh-hant:函數;

}}

[[File:Gamma_plot zh.svg|~~缩略图~~|200px|Γ函數在實軸上的函數圖形]]

[[File:Gamma_plot zh.svg|thumb|200px|Γ函數在實軸上的函數圖形]]

在[[數學]]中，<math>\Gamma \,</math>'''函数'''（'''伽瑪函數'''；Gamma函数），是[[階乘]]函數在[[實數]]與[[复数 (数学)|複數]]域上的擴展。如果<math>n</math>為[[正整數]]，則：

在[[數學]]中，<math>\Gamma \,</math>'''函数'''（'''伽瑪函數'''；Gamma函数），是[[階乘]]函數在[[實數]]與[[复数（数学）|複數]]域上的擴展。如果<math>n</math>為[[自然数|正整數]]，則：

:<math> \Gamma(n) = (n-1)!</math>

對於實數部份為正的[[复数 (数学)|複數]]<math>z</math>，伽瑪函數定義為：

對於實數部份為正的[[复数（数学）|複數]]<math>z</math>，伽瑪函數定義為：

:<math> \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t</math>

此定義可以用[[解析延拓]]原理，拓展到除去[[非正整數]]的整個[[复数 (数学)|複數]]域上。

此定義可以用[[解析延拓]]原理，拓展到除去[[非正整數]]的整個[[复数（数学）|複數]]域上。

因為 Γ函數沒有零點，所以倒數Γ函數是一個整函數，也就是在整個複數上都是有定義的函數。

第32行：

<math>\Gamma \,</math>函數可以通过[[尤拉]]（Euler）第二类积分定義：

:<math>\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t</math>

对[[复数 (数学)|复数]]<math>z\,</math>，我们要求<math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。

对[[复数（数学）|复数]]<math>z\,</math>，我们要求<math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。

<math>\Gamma</math>函數还可以通过对<math>\mathrm{e}^{-t}\,</math>做[[泰勒展开]]，[[解析延拓]]到整个[[复平面]]：

第48行：

:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}</math>

:<math>\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}</math>

其中<math>\gamma\,</math>是[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

其中<math>\gamma\,</math>是[[欧拉-马斯刻若尼常数|欧拉-马歇罗尼常数]]。

== <math>\Gamma</math>積分 ==

第63行：

<math> \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>，

对于[[正整数]]<math>n\,</math>，有

对于[[自然数|正整数]]<math>n\,</math>，有

:<math> \Gamma(n+1)=n!</math>，

可以说<math> \Gamma \,</math>函数是[[階乘]]的推廣。

第75行：

<math>\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x</math>

当<math>x=0 \,</math>时，<math>\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0</math>。当<math>x \,</math>趋于[[无穷大]]时，根据[[洛必达法则]]，有：

当<math>x=0 \,</math>时，<math>\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0</math>。当<math>x \,</math>趋于[[无穷|无穷大]]时，根据[[洛必达法则]]，有：

<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0</math>。

第83行：

<math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x</math>

等式的右面正好是<math>n \Gamma(n)\,</math>。因此，[[递推公式]]为：

等式的右面正好是<math>n \Gamma(n)\,</math>。因此，[[递推关系式|递推公式]]为：

:<math>{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,</math>。

第108行：

<ref>{{cite web |url= https://github.com/discoleo/R/blob/master/Math/Integrals.Gamma.R|title= Relations of the Gamma function|last= Mada|first= L.|date= 2020-04-24|website= R code on Github|publisher= Code publicly available on Github [Personal Research]|access-date= 2020-04-24|quote=Relations of the Gamma function}}</ref>

此式可用來協助計算[[t分布]]機率密度函數、[[卡方分布]]機率密度函數、[[F分布]]機率密度函數等的累計機率。

此式可用來協助計算[[t分布]]機率密度函數、[[卡方分佈|卡方分布]]機率密度函數、[[F分布]]機率密度函數等的累計機率。

* 極限性質

對任何實數α

第114行：

=== 斯特靈公式 ===

{{函數圖形|title=Γ函數與斯特靈公式|width=200|height=100|number class=複數|nonreal is nan=1|round number=8

|start=-0.815513|end=2.85236|min=0|max=5|sampling=200

|1 = gamma(x+1) | 1 name=gamma(z+1)

|2 = sqrt(2*pi*x)*(x/e)^x | 2 name=√(2πx)(x/e)^x

|caption=<math>\Gamma(z+1)</math>（藍色）、<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>（橘色），數字越大<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>會越趨近<math>\Gamma(z+1)</math>。但<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>會在負值則會因為出現虛數而無法使用。}}

[[斯特靈公式]]能用以估計<math>\Gamma(z)</math>函数的增長速度。公式為：

第139行：

第134行：

== 导数 ==

⚫

對任何[[复数（数学）|複數]]''z''，滿足 ''Re(z) > 0''，有

{{函數圖形

| title = Γ函數的微分

| start = -2

| end = 5

| sampling = 500

| width = 200

| height = 100

| min = -20

| max = 50|gamma(x)|gamma(x)

| calc diff 2 = 1

| caption = Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。

}}

⚫

對任何[[复数 (数学)|複數]]''z''，滿足 ''Re(z) > 0''，有

:<math>\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt </math>

第165行：

第148行：

== 解析延拓 ==

[[File:Gamma abs.png|~~缩略图~~|250px|Γ函數的絕對值函數圖形]]

[[File:Gamma abs.png|thumb|250px|Γ函數的絕對值函數圖形]]

注意到在<math>\Gamma</math>函數的積分定義中若取<math>z \,</math>為實部大於零之[[复数 (数学)|複數]]、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個[[全純函數]]。利用函數方程

注意到在<math>\Gamma</math>函數的積分定義中若取<math>z \,</math>為實部大於零之[[复数（数学）|複數]]、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個[[全純函數]]。利用函數方程

: <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) </math>

並注意到函數<math>\sin (\pi z) \,</math>在整個複平面上有解析延拓，我們可以在<math>\mathrm{Re}(z)<1</math>時設

: <math> \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}</math>

從而將<math>\Gamma \,</math>函數延拓為整個複平面上的[[亞純函數]]，它在<math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math>有單[[极点 (复分析)|極點]]，留數為

從而將<math>\Gamma \,</math>函數延拓為整個複平面上的[[亞純函數]]，它在<math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math>有單[[极点（复分析）|極點]]，留數為

: <math>\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!} </math>

第176行：

第159行：

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用<code><nowiki>EXP[GAMMALN(X)]</nowiki></code>，即可求得任意實数的伽玛函数的值。

* 例如在EXCEL中：<code><nowiki>EXP[GAMMALN(4/3)]</nowiki></code>={{複變運算|gamma(4/3)}}

而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度<ref>{{Cite web |url=http://www.rskey.org/gamma.htm |title=Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function'' (2006) |accessdate=2018-11-18 ~~|||~~}}</ref>，已足以填滿[[單精度浮點數]]的二進制有效數-{}-字24位：

而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度<ref>{{Cite web |url=http://www.rskey.org/gamma.htm |title=Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function'' (2006) |accessdate=2018-11-18 }}</ref>，已足以填滿[[單精度浮點數]]的二進制有效數-{}-字24位：

:<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}</math>

@@ 第5行： / 第5行： @@
 |2=zh-hans:函数; zh-hant:函數;
 }}
-[[File:Gamma_plot zh.svg|缩略图|200px|Γ函數在實軸上的函數圖形]]
+[[File:Gamma_plot zh.svg|thumb|200px|Γ函數在實軸上的函數圖形]]
 {{微積分學}}
-在[[數學]]中，<math>\Gamma \,</math>'''函数'''（'''伽瑪函數'''；Gamma函数），是[[階乘]]函數在[[實數]]與[[复数 (数学)|複數]]域上的擴展。如果<math>n</math>為[[正整數]]，則：
+在[[數學]]中，<math>\Gamma \,</math>'''函数'''（'''伽瑪函數'''；Gamma函数），是[[階乘]]函數在[[實數]]與[[复数（数学）|複數]]域上的擴展。如果<math>n</math>為[[自然数|正整數]]，則：
 :<math> \Gamma(n) = (n-1)!</math>
-對於實數部份為正的[[复数 (数学)|複數]]<math>z</math>，伽瑪函數定義為：
+對於實數部份為正的[[复数（数学）|複數]]<math>z</math>，伽瑪函數定義為：
 :<math> \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t</math>
-此定義可以用[[解析延拓]]原理，拓展到除去[[非正整數]]的整個[[复数 (数学)|複數]]域上。
+此定義可以用[[解析延拓]]原理，拓展到除去[[非正整數]]的整個[[复数（数学）|複數]]域上。
 因為 Γ函數 沒有零點，所以倒數Γ函數是一個整函數，也就是在整個複數上都是有定義的函數。
@@ 第32行： / 第32行： @@
 <math>\Gamma \,</math>函數可以通过[[尤拉]]（Euler）第二类积分定義：
 :<math>\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t</math>
-对[[复数 (数学)|复数]]<math>z\,</math>，我们要求<math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。
+对[[复数（数学）|复数]]<math>z\,</math>，我们要求<math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。
 <math>\Gamma</math>函數还可以通过对<math>\mathrm{e}^{-t}\,</math>做[[泰勒展开]]，[[解析延拓]]到整个[[复平面]]：
@@ 第48行： / 第48行： @@
 :<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}</math>
 :<math>\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}</math>
-其中<math>\gamma\,</math>是[[欧拉-马歇罗尼常数]]。
+其中<math>\gamma\,</math>是[[欧拉-马斯刻若尼常数|欧拉-马歇罗尼常数]]。
 == <math>\Gamma</math>積分 ==
@@ 第63行： / 第63行： @@
 <math> \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>，
-对于[[正整数]]<math>n\,</math>，有
+对于[[自然数|正整数]]<math>n\,</math>，有
 :<math> \Gamma(n+1)=n!</math>，
 可以说<math> \Gamma \,</math>函数是[[階乘]]的推廣。
@@ 第75行： / 第75行： @@
 <math>\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x</math>
-当<math>x=0 \,</math>时，<math>\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0</math>。当<math>x \,</math>趋于[[无穷大]]时，根据[[洛必达法则]]，有：
+当<math>x=0 \,</math>时，<math>\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0</math>。当<math>x \,</math>趋于[[无穷|无穷大]]时，根据[[洛必达法则]]，有：
 <math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0</math>。
@@ 第83行： / 第83行： @@
 <math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x</math>
-等式的右面正好是<math>n \Gamma(n)\,</math>。因此，[[递推公式]]为：
+等式的右面正好是<math>n \Gamma(n)\,</math>。因此，[[递推关系式|递推公式]]为：
 :<math>{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,</math>。
@@ 第108行： / 第108行： @@
 <ref>{{cite web |url= https://github.com/discoleo/R/blob/master/Math/Integrals.Gamma.R|title= Relations of the Gamma function|last= Mada|first= L.|date= 2020-04-24|website= R code on Github|publisher= Code publicly available on Github [Personal Research]|access-date= 2020-04-24|quote=Relations of the Gamma function}}</ref>
-此式可用來協助計算[[t分布]]機率密度函數、[[卡方分布]]機率密度函數、[[F分布]]機率密度函數等的累計機率。
+此式可用來協助計算[[t分布]]機率密度函數、[[卡方分佈|卡方分布]]機率密度函數、[[F分布]]機率密度函數等的累計機率。
 * 極限性質
 對任何實數α
@@ 第114行： / 第114行： @@
 === 斯特靈公式 ===
-{{函數圖形|title=Γ函數與斯特靈公式|width=200|height=100|number class=複數|nonreal is nan=1|round number=8
-|start=-0.815513|end=2.85236|min=0|max=5|sampling=200
-|1 = gamma(x+1) | 1 name=gamma(z+1)
-|2 = sqrt(2*pi*x)*(x/e)^x | 2 name=√(2πx)(x/e)^x
-|caption=<math>\Gamma(z+1)</math>（藍色）、<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>（橘色），數字越大<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>會越趨近<math>\Gamma(z+1)</math>。但<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>會在負值則會因為出現虛數而無法使用。}}
 {{main|斯特靈公式}}
 [[斯特靈公式]]能用以估計<math>\Gamma(z)</math>函数的增長速度。公式為：
@@ 第139行： / 第134行： @@
 == 导数 ==
+對任何[[复数（数学）|複數]]''z''，滿足 ''Re(z) > 0''，有
-{{函數圖形
-| title = Γ函數的微分
-| start = -2
-| end = 5
-| sampling = 500
-| width = 200
-| height = 100
-| min = -20
-| max = 50|gamma(x)|gamma(x)
-| calc diff 2 = 1
-| caption = Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。
-}}
-對任何[[复数 (数学)|複數]]''z''，滿足 ''Re(z) > 0''，有
 :<math>\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt </math>
@@ 第165行： / 第148行： @@
 == 解析延拓 ==
-[[File:Gamma abs.png|缩略图|250px|Γ函數的絕對值函數圖形]]
+[[File:Gamma abs.png|thumb|250px|Γ函數的絕對值函數圖形]]
-注意到在<math>\Gamma</math>函數的積分定義中若取<math>z \,</math>為實部大於零之[[复数 (数学)|複數]]、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個[[全純函數]]。利用函數方程
+注意到在<math>\Gamma</math>函數的積分定義中若取<math>z \,</math>為實部大於零之[[复数（数学）|複數]]、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個[[全純函數]]。利用函數方程
 : <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) </math>
 並注意到函數<math>\sin (\pi z) \,</math>在整個複平面上有解析延拓，我們可以在<math>\mathrm{Re}(z)<1</math>時設
 : <math> \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}</math>
-從而將<math>\Gamma \,</math>函數延拓為整個複平面上的[[亞純函數]]，它在<math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math>有單[[极点 (复分析)|極點]]，留數為
+從而將<math>\Gamma \,</math>函數延拓為整個複平面上的[[亞純函數]]，它在<math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math>有單[[极点（复分析）|極點]]，留數為
 : <math>\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!} </math>
@@ 第176行： / 第159行： @@
 許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用<code><nowiki>EXP[GAMMALN(X)]</nowiki></code>，即可求得任意實数的伽玛函数的值。
 * 例如在EXCEL中：<code><nowiki>EXP[GAMMALN(4/3)]</nowiki></code>={{複變運算|gamma(4/3)}}
-而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度<ref>{{Cite web |url=http://www.rskey.org/gamma.htm |title=Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function'' (2006) |accessdate=2018-11-18 |||}}</ref>，已足以填滿[[單精度浮點數]]的二進制有效數-{}-字24位：
+而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度<ref>{{Cite web |url=http://www.rskey.org/gamma.htm |title=Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function'' (2006) |accessdate=2018-11-18 }}</ref>，已足以填滿[[單精度浮點數]]的二進制有效數-{}-字24位：
 :<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z}  + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}</math>