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空集公理
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在[[集合论]]中,'''空集公理'''是 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]的[[公理]]之一。 ==正式表述== {{math_theorem | math_statement = <math> (\exist A)(\forall x )[\neg(x \in A)] </math> | name = <math>(N)</math> }}直觀上這個公理說: :[[存在量化|有着]]一个[[集合 (数学)|集合]]使得「没有集合」是它的[[元素 (數學)|元素]]。 {{math_theorem | math_statement = <br/> <math>\vdash (\exists!x)[\, (\forall y)(y\not\in x) \,]</math> | name = }} {| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" !'''證明''' |- |假設 : <math>(\forall y)(y\not\in x)</math> : <math>(\forall y)(y\not\in t) </math> 那根據量詞公理[[一阶逻辑#量词公理|(A4)]]有 : <math>\neg(y \in x)</math> : <math>\neg(y \in t) </math> 另一方面根據[[一阶逻辑#常用的推理性質|常用的推理性質]]的(M0)有 : <math>\vdash (y\not\in x) \Rightarrow [\,(y\in x) \Rightarrow (y\in t)\,]</math> : <math>\vdash (y\not\in t) \Rightarrow [\,(y\in t) \Rightarrow (y\in x)\,]</math> 這樣就會有 : <math>(y\in x) \Rightarrow (y\in t)</math> : <math>(y\in t) \Rightarrow (y\in x)</math> 這樣根據[[一阶逻辑#且與或的直觀意義|(AND)]]有 : <math>(y\in x) \Leftrightarrow (y\in t)</math> 因為前面的 <math>y</math> 在一開始假設裡[[一阶逻辑#自由變數和約束變數|完全被約束]],所以對上式以 <math>y</math> 使用[[一阶逻辑#普遍化元定理|(GEN)]]有 : <math>(\forall y)(y\in x) \Leftrightarrow (y\in t)</math> 綜上所述 : <math>(\forall y)(y\not\in x), \, (\forall y)(y\not\in t) \vdash x = t</math> 這樣根據[[一阶逻辑#普遍化元定理|普遍化]]就有 : <math>\vdash (\forall x)(\forall t)\big\{ [ (\forall y)(y\not\in x) \wedge (\forall y)(y\not\in t) ] \Rightarrow (x = t) \} </math> 再以[[一阶逻辑#且與或的直觀意義|(AND)]]綜合空集公理,本定理就得証了。<math>\Box</math> |} 也就是直觀上,「[[空集]]是唯一存在的」,這樣根據[[一阶逻辑#函數符號與唯一性|函數符號與唯一性]],可以在 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]加入新的常數符號 <math>\varnothing</math> 和以下的新公理 {{math_theorem | math_statement = <math> (\forall y)(y\not\in \varnothing) </math> | name = <math>(N^{\prime})</math> }}一般所稱的空集公理指的是<math>(N^{\prime})</math>,而不是據以定義常數符號 <math>\varnothing</math> 的原始公理<math>(N)</math>。 ==解释== 我们可以使用[[外延公理]]来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的,我们可以簡單名之為[[空集]],并將其標記为 {} 或 <math>\varnothing</math>。因此这个公理的本质是: :存在一个空集。 空集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化中。 在 ZF 的某些陳述版本中,空集公理实际上在[[无穷公理]]中是重复的。换句话说,有不预設空集存在的另一种公理版本。还有,以一[[常量符号]]表示空集的話,藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本;那么无穷公理也會用到这个符号而不要求它是空的,尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。 而且,在那些不包含无穷集合的集合论中,空集公理仍是需要的。就是说,使用[[分类公理|分离公理模式]],声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。 == 引用 == *Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). *Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer. ISBN 3-540-44085-2. *Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9. [[Category:集合论公理]]
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