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{{NoteTA |G1 = Math }} 在數學上,特別是拓樸學中,'''開集'''是一個將實數上的開區間的概念進行抽象化後的一個抽象物件。一個簡單的例子便是在<math>\R^n</math>中,我們可以簡單的將<math>\R^n</math>中的開集定義成是:那些<math>\R^n</math>中集合,集合中的每一個點都有一個<math>\R^n</math>中的球包含著並同時被包含於集合內。(或者是說,一個集合是開集,如果這個集合沒有包含著它的邊界點)。然而,一般來說,一個開集也可以很抽象:一串集合列裡面集合都能被稱作是開集,只要這串集合列滿足以下性質: (1) 任意數量的集合的聯集還是在這個集合列中。(2) 有限數量的集合的交集還是在這個集合列中。(3) 所有集合所在的空間跟空集都要在這個集合列之中。上述的這些條件看起來非常寬鬆,以至於我們有很好的靈活性去選取開集。 開集的概念提供了一個基礎的方式去描述點與點之間的「靠近程度」而不需要仰賴於距離的定義。 一旦我們找定好了開集,我們便可以開始應用開集去定義關於連續,連通還有緊緻等性質的概念了。 [[File:red_blue_circle.svg|缩略图|满足<math>x^2+y^2=r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着蓝色。满足<math>x^2+y^2<r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。]] == 定義 == 可以按不同的一般性程度來形式化開集的概念。 === 函数分析 === 在'''R'''<sup>''n''</sup>中点集是开集,如果在这个集合的所有点''P''都是[[内部点]]。 === 欧几里得空间 === <math>n</math>維歐式空間<math>\R^n</math>的子集<math>U</math>是开集,如果给定任何在<math>U</math>中的點<math>x</math>,存在一个实数<math>\epsilon > 0</math>使得,如果给定任何<math>\R^n</math>中点<math>y</math>,有著從<math>x</math>到它的歐式距離小於<math>\epsilon </math>,则<math>y</math>也属于<math>U</math>。等价的说:如果所有<math>U</math>中的点有包含在<math>U</math>中的邻域,則<math>U</math>是开集。 === 賦距空间 === [[度量空间|賦距空间]]<math>(M,d)</math>的子集''<math>U</math>''是开集,如果给定任何''<math>U</math>''中的點<math>x</math>,存在一个实数<math>\epsilon > 0</math>使得,如果给定任何<math>M</math>中的点<math>y</math>,有<math>d(x,y) < \epsilon</math>,则''<math>y</math>''也屬於''<math>U</math>''。 等价的说:如果所有''<math>U</math>''中的点有包含在''<math>U</math>''中的邻域,''<math>U</math>''是开集。 这推廣了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。 === 拓扑空间 === 在[[拓扑空间]]中,开集是一項基础性的概念。你可以從任意集合<math>X</math>出發,再選取''<math>X</math>''的某個特定的[[子集族]]<math>\tau</math>,使'''<math>\tau</math>'''中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族'''<math>\tau</math>'''被叫做''<math>X</math>''上的“拓樸”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 <math>(X,T)</math>的开集。 更精確地說:給定集合<math>X</math>,給予一個集合串<math>\tau</math>里面的每一個元素都是<math>X</math>中的子集。這個集合串<math>\tau</math>裡面的元素可以被稱為開集當他們滿足以下性質: * <math>X \in \tau</math> 而且 <math>\varnothing \in \tau\qquad\qquad\qquad</math> (<math>X</math> 以及 <math>\varnothing </math>都是開集) * <math>\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau</math> 然後有 <math>\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau\qquad</math>(開集的任意聯集都是開集) * <math>U_1, \ldots U_n \in \tau</math> 然後有 <math>U_1, \ldots U_n \in \tau</math> (開集的任意有限交集都是開集) 开集的拓扑定义推广了度量空间定义:如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集,则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地,任何度量空间都是拓扑空间。(但有不是度量空间的拓扑空间。) == 性质 == # [[空集]]是開集(注意空集也是[[閉集]])。 # 定义拓扑的集合X既开又闭。 # 任意个开集的[[并集]]是开集。{{NoteTag|1=开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。}} # 有限个开集的[[交集]]是开集。{{NoteTag|1=直观上,开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如,三维欧式空间上以原点为中心的开球,半径为1.1、1.01、1.001、...,其交集为半径为1.0的闭球。}} == 例子 == * [[度量空间]]<math>(X,d)</math>中,以点<math>x\in X</math>为中心,<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>为开集,任意的开集<math>A</math>包含以<math>x\in A</math>为中心,充分小的<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>。 * [[流形]]中的开集为[[子流形]]。 == 用处 == 开集在[[拓扑学]]分支中有著基础的重要性。當定义[[拓扑空间]]和其他拓扑结构(处理[[邻近性]]与[[收敛]]此類概念,比如[[度量空间]]和[[一致空间]])時,都會用到开集的概念。 拓扑空间''X''的每個[[子集]]''A''都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做''A''的[[内部]]。它可以通过取包含在''A''中的所有开集的并集来构造。 给定拓扑空间''X''和''Y'',从''X''到''Y''的[[函数]]''f''是[[连续函数 (拓扑学)|连续]]的,如果在''Y''中的所有开集的[[前像]]是在''X''中的开集。映射''f''被叫做[[开映射]],如果在''X''中的所有开集的[[像]]是''Y''中的开集。 [[实直线]]上的开集都是可数個不相交开区间的并集。 == 相关条目 == * [[拓扑空间]] * [[度量空间]] * [[闭集]] * [[闭开集]] == 注释 == {{ReflistH}} {{NoteFoot}} {{ReflistF}} {{点集拓扑}} [[Category:点集拓扑学|K]]
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