彈性力學

彈性力學，也稱彈性理論，是固體力學的一個分支，研究彈性體由於受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發生的應力、形變和位移問題。

基本概念與基本假設

基本概念

作用於物體的外力可分為體積力和表面力。體積力是作用在物體內部體積上的外力，簡稱體力，例如重力、慣性力、電磁力等。表面力是作用在物體表面上的外力，簡稱面力，例如流體壓力、接觸力等。

基本假設

連續性：假定物體是連續的，即整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙，並且在整個變形過程中保持其連續性。
完全彈性：假定物體是完全彈性的，即物體在引起形變的外力去除後能完全恢復其初始的形狀和尺寸，物體的形變與其所受外力具有一一對應的函數關係。
均勻性：假定物體是均勻的，即整個物體的所有部分具有相同的彈性性質。
各向同性：既定物體是各向同性的，即物體的彈性性質在所有各個方向都相同，與考察方向無關。
小變形：假定物體受力後的位移和形變是微小的，整個物體所有個點的位移都遠小於物體原來的尺寸，且應變與轉角都遠小於1。

對符合上述前4項假定的物體，稱為理想彈性體。

基本方程式

平衡方程式

應力形式的靜力平衡方程式

${\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + X = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + Y = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z = 0 \\ \end{align} }$

張量形式

${\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0} }$

幾何方程式

應變與位移關係式

${\displaystyle \begin{align} \epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x},\quad \gamma_{yz} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \right) \\ \epsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \gamma_{zx} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \\ \epsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z},\quad \gamma_{xy} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \\ \end{align} }$

張量形式

${\displaystyle \boldsymbol{\epsilon} = \frac{1}{2} \left( \boldsymbol{u} \nabla + \nabla \boldsymbol{u} \right) }$

等向性材料的應力與應變關係式(虎克定律)（本構方程式）

${\displaystyle \begin{align} \epsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x - \nu \left( \sigma_y + \sigma_z \right) \right],\quad \gamma_{yz} = \frac{1}{G} \tau_{yz} \\ \epsilon_y = \frac{1}{E} \left[ \sigma_y - \nu \left( \sigma_z + \sigma_x \right) \right],\quad \gamma_{zx} = \frac{1}{G} \tau_{zx} \\ \epsilon_z = \frac{1}{E} \left[ \sigma_z - \nu \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \right],\quad \gamma_{xy} = \frac{1}{G} \tau_{xy} \\ \end{align} }$

平面問題

平面應力問題

$\sigma_z = \tau_{zx} = \tau_{zy} = 0$

平面應變問題

$\epsilon_z = \gamma_{zx} = \gamma_{zy} = 0$

參見

參考文獻

外部連結