椭圆曲线迪菲-赫尔曼密钥交换

椭圆曲线迪菲-赫尔曼密钥交换（英语：Elliptic Curve Diffie–Hellman key exchange，缩写为ECDH），是一种匿名的密钥合意协议（Key-agreement protocol），这是迪菲－赫尔曼密钥交换的变种，采用椭圆曲线密码学来加强性能与安全性。在这个协定下，双方利用由椭圆曲线密码学建立的公钥与私钥对，在一个不安全的通道中，建立起安全的共有加密资料。临时ECDH（ECDH Ephemeral，ECDHE）能够提供前向安全性。

密钥建立协议

参见：椭圆曲线密码学

假设爱丽丝与鲍勃需要建立共享密钥，但他们之间唯一的信道可能被第三方伊夫窃听，此时可以使用椭圆曲线密码学。首先，需要事先提前约定域参数（质数域$F_{p}$时为$(p,a,b,G,n,h)$，二元域$F_{2}$时为$(m,f(x),a,b,G,n,h)$），它是公开信息，定义了所使用的椭圆曲线；然后，双方准备符合条件的密钥（在区间$[1, n-1]$随机一个整数作为私钥$d$，并与基点$G$相乘得到点$Q = dG$，即公钥），此时爱丽丝的密钥为$(d_{A}, Q_{A})$，鲍勃的密钥为$(d_{B}, Q_{B})$；接着，双方将自己的公钥$Q_{A}$或$Q_{B}$发送给对方；

爱丽丝计算点$(x_k, y_k) = d_{A} Q_{B}$，鲍勃计算点$(x_{k}, y_{k}) = d_{B} Q_{A}$，这就得到了双方的共享秘密$x_k$（即该点的x坐标）。由于$d_A Q_B = d_A d_B G = d_B d_A G = d_B Q_A$，因此双方得到的$x_k$是相等的。在实际应用中，常使用$x_k$和其他相关参数作为一个密钥衍生函数的输入，密钥为其输出。

在这个过程中，伊夫知道椭圆曲线的域参数，但爱丽丝只透露了她的公钥$Q_{A}$，伊夫无法获得她的私钥$d_{A}$，除非伊夫能够解决椭圆曲线上的离散对数问题，这个问题被认为是困难的。同理，鲍勃的私钥也是安全的。伊夫也无法通过其它方式直接计算出双方的共享秘密$x_k$，因为计算离散对数是迪菲-赫尔曼问题的已知最优解法。

但是，如果双方使用的随机数生成器存在安全隐患，伊夫就可能预测私钥$d_{A}$和$d_{B}$。此外，上述的密钥交换是匿名的，双方没有进行身份验证。如果攻击者有能力篡改信息，就能冒充双方的身份。因此，有必要用其他的方式进行身份验证，例如公钥基础设施。

量子计算机

如果攻击者拥有大型量子计算机，那么他可以使用秀尔算法解决离散对数问题，从而破解私钥和共享秘密。目前的估算认为：破解256位素数域上的椭圆曲线，需要2330个量子比特与1260亿个托佛利门。相比之下，使用秀尔算法破解2048位的RSA则需要4098个量子比特与5.2万亿个托佛利门。因此，椭圆曲线会更先遭到量子计算机的破解。目前还不存在建造如此大型量子计算机的科学技术，因此椭圆曲线密码学至少在未来十年（或更久）依然是安全的。但是密码学家已经积极展开了后量子密码学的研究。其中，超奇异椭圆曲线同源密钥交换（SIDH）有望取代当前的常规椭圆曲线密钥交换（ECDH）。