数值分析 中,Runge-Kutta法 (英文:Runge-Kutta methods)是用于非线性常微分方程 的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格 和马丁·威尔海姆·库塔 于1900年左右发明。
四阶Runge-Kutta法
在各种Runge-Kutta法当中有一个方法十分常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“Runge-Kutta法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值资讯,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题 表述如下。
y
′
=
f
(
t
,
y
)
,
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 }
则,对于该问题的RK4由如下方程给出:
y
n
+
1
=
y
n
+
h
6
(
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
)
{\displaystyle y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) }
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle k_1 = f \left( t_n, y_n \right) }
k
2
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
1
)
{\displaystyle k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1 \right) }
k
3
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
2
)
{\displaystyle k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2 \right) }
k
4
=
f
(
t
n
+
h
,
y
n
+
h
k
3
)
{\displaystyle k_4 = f \left( t_n + h, y_n + hk_3 \right) }
这样,下一个值(y n +1 )由现在的值(y n )加上时间间隔(h )和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均:
k 1 是时间段开始时的斜率;
k 2 是时间段中点的斜率,通过欧拉法 采用斜率k 1 来决定y 在点t n + h /2的值;
k 3 也是中点的斜率,但是这次采用斜率k 2 决定y 值;
k 4 是时间段终点的斜率,其y 值用k 3 决定。
当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:
slope
=
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
6
.
{\displaystyle \mbox{slope} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.}
RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h 5 阶 ,而总积累误差为h 4 阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y 可以是向量)都适用。
显式Runge-Kutta法
显式Runge-Kutta法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b_i k_i, }
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
,
{\displaystyle k_1 = f(t_n, y_n), \, }
k
2
=
f
(
t
n
+
c
2
h
,
y
n
+
a
21
h
k
1
)
,
{\displaystyle k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+a_{21}hk_1), \, }
k
3
=
f
(
t
n
+
c
3
h
,
y
n
+
a
31
h
k
1
+
a
32
h
k
2
)
,
{\displaystyle k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+a_{31}hk_1+a_{32}hk_2), \, }
⋮
{\displaystyle \vdots }
k
s
=
f
(
t
n
+
c
s
h
,
y
n
+
a
s
1
h
k
1
+
a
s
2
h
k
2
+
⋯
+
a
s
,
s
−
1
h
k
s
−
1
)
.
{\displaystyle k_s = f(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}hk_1+a_{s2}hk_2+\cdots+a_{s,s-1}hk_{s-1}). }
(注意:上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法,必须提供整数s (级数),以及系数 a ij (对于1 ≤ j < i ≤ s ), b i (对于i = 1, 2, ..., s )和c i (对于i = 2, 3, ..., s )。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为Butcher tableau (得名自John C. Butcher ):
0
c
2
{\displaystyle c_2 }
a
21
{\displaystyle a_{21} }
c
3
{\displaystyle c_3 }
a
31
{\displaystyle a_{31} }
a
32
{\displaystyle a_{32} }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋱
{\displaystyle \ddots }
c
s
{\displaystyle c_s }
a
s
1
{\displaystyle a_{s1} }
a
s
2
{\displaystyle a_{s2} }
⋯
{\displaystyle \cdots }
a
s
,
s
−
1
{\displaystyle a_{s,s-1} }
b
1
{\displaystyle b_1 }
b
2
{\displaystyle b_2 }
⋯
{\displaystyle \cdots }
b
s
−
1
{\displaystyle b_{s-1} }
b
s
{\displaystyle b_s }
Runge-Kutta法是自洽的,如果
∑
j
=
1
i
−
1
a
i
j
=
c
i
f
o
r
i
=
2
,
…
,
s
.
{\displaystyle \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.}
如果要求方法的精度为p 阶,即截断误差为O(h p +1 )的,则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及b 2 a 21 = 1/2。
例子
RK4法处于这个框架之内。其表为:
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1
0
0
1
1/6
1/3
1/3
1/6
然而,最简单的Runge-Kutta法是(更早发现的)欧拉方法 ,其公式为
y
n
+
1
=
y
n
+
h
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) }
。这是唯一自洽的一级显式Runge-Kutta方法。相应的表为:
隐式Runge-Kutta方法
以上提及的显式Runge-Kutta法一般来讲不适用于求解刚性方程 。这是因为显式Runge-Kutta方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式Runge-Kutta方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式Runge-Kutta方法,一般而言,隐式Runge-Kutta方法具有以下形式:
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i, }
其中
k
i
=
f
(
t
n
+
c
i
h
,
y
n
+
h
∑
j
=
1
s
a
i
j
k
j
)
,
i
=
1
,
…
,
s
.
{\displaystyle k_i = f\left( t_n + c_i h, y_n + h\sum_{j=1}^s a_{ij} k_j \right), \quad i = 1, \ldots, s.}
在显式Runge-Kutta方法的框架里,定义参数
a
i
j
{\displaystyle a_{ij} }
的矩阵是一个下三角矩阵 ,而隐式Runge-Kutta方法并没有这个性质,这是两个方法最直观的区别:
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
=
c
A
b
T
{\displaystyle
\begin{array}{c|cccc}
c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\
\end{array} =
\begin{array}{c|c}
\mathbf{c}& A\\
\hline
& \mathbf{b^T} \\
\end{array}
}
需要注意的是,与显式Runge-Kutta方法不同,隐式Runge-Kutta方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组,这相应的增加了计算的成本。
参考
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems , second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)