光线转换矩阵分析 (又称ABCD矩阵分析 )，是用于某些光学系统，特别是激光领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix)，这个矩阵与一代表光线的向量 相乘之后，可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中，用以追踪通过粒子加速器 中磁铁装置的粒子，详情请见电子光学 。
以下介绍的技术使用了近轴逼近法 ，此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。[1]
定义 光线追踪技术以两个平面为参考面, 分别为输入平面与输出平面, 这两个平面均垂直于系统的光轴。此外，为了理论的一般性，我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ1 ，从距离光轴 x 1 的入射面进入系统，并在距光轴的x 2 的输出面呈θ2 射出，而n 1 , n 2 分别是在输入面与输出面中介质的折射率。
这些参数可表成下列关系式:
[
x
2
θ
2
]
=
[
A
B
C
D
]
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} }
当
A
=
x
2
x
1
|
θ
1
=
0
B
=
x
2
θ
1
|
x
1
=
0
{\displaystyle A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0} }
且
C
=
θ
2
x
1
|
θ
1
=
0
D
=
θ
2
θ
1
|
x
1
=
0
{\displaystyle C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0} }
这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相链接，M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系，可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。
det
(
M
)
=
A
D
−
B
C
=
n
1
n
2
{\displaystyle \det(\mathbf{M}) = AD - BC = { n_1 \over n_2 } }
因此，若是输入面与输出面在同一个介质中，或是在具有同一个折射率的不同介质中，M等于1，相似的技术可以应用于电路学上，见二埠网路 。
范例 若两个面中有空间存在，光线转换矩阵可以表示成:
S
=
[
1
d
0
1
]
{\displaystyle \mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }
其中d表示两参考平面的距离(沿着光轴测量)，此矩阵有下列关系:
[
x
2
θ
2
]
=
S
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \mathbf{S} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} }
两光线各别的参数可表示如下:
x
2
=
x
1
+
d
θ
1
θ
2
=
θ
1
{\displaystyle \begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\
\theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix} }
另一个范例为一薄透镜，其光线转画矩阵为:
L
=
[
1
0
−
1
f
1
]
{\displaystyle \mathbf{L} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix} }
其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统，光线转化矩阵可以交互相乘，形成一总括光线转化矩阵，以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:
L
S
=
[
1
0
−
1
f
1
]
[
1
d
0
1
]
=
[
1
d
−
1
f
1
−
d
f
]
{\displaystyle \mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix} }
注意，矩阵的乘法并没有交换率，因此下面的系统先为一薄透镜，后为一空间。
S
L
=
[
1
d
0
1
]
[
1
0
−
1
f
1
]
=
[
1
−
d
f
d
−
1
f
1
]
{\displaystyle \mathbf{SL} =
\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix} }
因此，矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率 的介质，或者是面镜的反射等等。
光线转化矩阵表格 简易的光学元素
共振稳定性 RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用，像是激光。在最简单的情况下由两个完全相同，具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的，上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2，彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统，此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:
M
=
L
S
=
[
1
d
−
1
f
1
−
d
f
]
{\displaystyle \mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix} }
光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器)，意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦，并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”，入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。 使得：
M
[
x
1
θ
1
]
=
[
x
2
θ
2
]
=
λ
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle \mathbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} }
此为一本征方程式：
[
M
−
λ
I
]
[
x
1
θ
1
]
=
0
{\displaystyle \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = 0 }
其中I为一2x2单位矩阵。
我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值：
det
[
M
−
λ
I
]
=
0
{\displaystyle \operatorname{det} \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0 }
可导出以下特征方程式：
λ
2
−
tr
(
M
)
λ
+
det
(
M
)
=
0
{\displaystyle \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0 }
其中
tr
(
M
)
=
A
+
D
=
2
−
d
f
{\displaystyle \operatorname{tr} ( \mathbf{M} ) = A + D = 2 - { d \over f } }
是RTM的轨迹 ，且
det
(
M
)
=
A
D
−
B
C
=
1
{\displaystyle \operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC = 1 }
是RTM行列式值的倒数，带入消去后我们可以得到:
λ
2
−
2
g
λ
+
1
=
0
{\displaystyle \lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0 }
其中
g
=
d
e
f
tr
(
M
)
2
=
1
−
d
2
f
{\displaystyle g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f } }
是稳定参数。本征值是本征方程式的解，由一元二次方程式可以解出:
λ
±
=
g
±
g
2
−
1
{\displaystyle \lambda_{\pm} = g \pm \sqrt{g^2 - 1} \, }
现在，考虑一个光线通过系统N次:
[
x
N
θ
N
]
=
λ
N
[
x
1
θ
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} x_N \\ \theta_N \end{bmatrix} = \lambda^N \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} }
如果此波导是稳定的，所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方，意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1，则两本征值均为实数，又因为λ+λ- = 1 ，因此其中一个的绝对值必须大于1，这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中，g2≤1，以及本征值可以用复数形式表示:
λ
±
=
g
±
i
1
−
g
2
=
cos
(
ϕ
)
±
i
sin
(
ϕ
)
=
e
±
i
ϕ
{\displaystyle \lambda_{\pm} = g \pm i \sqrt{1 - g^2} = \cos(\phi) \pm i \sin(\phi) = e^{\pm i \phi} }
以g=cos(φ)表示。
假设
g
2
<
1
{\displaystyle g^2 < 1 }
r
+
{\displaystyle r_+ }
r
−
{\displaystyle r_- }
λ
+
{\displaystyle \lambda_+ }
λ
−
{\displaystyle \lambda_- }
c
+
r
+
+
c
−
r
−
{\displaystyle c_+ r_+ + c_- r_- }
c
+
{\displaystyle c_+ }
c
−
{\displaystyle c_- }
再通过N个波导后，输出则为:
M
N
(
c
+
r
+
+
c
−
r
−
)
=
λ
+
N
c
+
r
+
+
λ
−
N
c
−
r
−
=
e
i
N
ϕ
c
+
r
+
+
e
−
i
N
ϕ
c
−
r
−
{\displaystyle \mathbf{M}^N (c_+ r_+ + c_- r_-) = \lambda_+^N c_+ r_+ + \lambda_-^N c_- r_- = e^{i N \phi} c_+ r_+ + e^{- i N \phi} c_- r_- }
这代表一个周期函数。
高斯光束的光线转化矩阵 光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波长为λ0，曲率半径为R，光点大小w，折射率n，我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:
1
q
=
1
R
−
i
λ
0
π
n
w
2
{\displaystyle \frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda_0}{\pi n w^2} }
此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:
[
q
2
1
]
=
k
[
A
B
C
D
]
[
q
1
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} q_2 \\ 1 \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1 \\ 1 \end{bmatrix} }
其中k为标准化常数，此常数可以让光束向量的第二个成分为1，利用矩阵乘法:
q
2
=
k
(
A
q
1
+
B
)
{\displaystyle q_2 = k(Aq_1 + B) \,}
且
1
=
k
(
C
q
1
+
D
)
{\displaystyle 1 = k(Cq_1 + D) \ }
由上式除以下式可得:
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
{\displaystyle q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}}
此方程式常以倒数形式表示:
1
q
2
=
C
+
D
/
q
1
A
+
B
/
q
1
{\displaystyle { 1 \over q_2 } = { C + D/q_1 \over A + B/q_1 } }
范例：:Free space 假设一光束通过一距离为d的空间，光线转化矩阵为:
[
A
B
C
D
]
=
[
1
d
0
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
=
q
1
+
d
1
=
q
1
+
d
{\displaystyle q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1+d}{1} = q_1+d}
这表示，通过一空间会增加半径d。
范例：薄透镜 假设一光束通过一焦距为f的薄透镜，光线转化矩阵为:
[
A
B
C
D
]
=
[
1
0
−
1
/
f
1
]
{\displaystyle \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}
因此
q
2
=
A
q
1
+
B
C
q
1
+
D
=
q
1
−
q
1
f
+
1
{\displaystyle q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1}{-\frac{q_1}{f}+1} }
1
q
2
=
−
q
1
f
+
1
q
1
=
1
q
1
−
1
f
{\displaystyle \frac{1}{q_2} = \frac{-\frac{q_1}{f}+1}{q_1} =\frac{1}{q_1}-\frac{1}{f}}
再次强调，只有q的实部会被影响，曲率半径会减少1/f。
另见 参考文献
↑ An exact method for tracing meridional rays is available here .
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Gerrard, Anthony; Burch, James M. Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. 1994. ISBN 9780486680446 F. J. Duarte . Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 2003.
外部链接 
