数学物理

数学物理是数学和物理学的交叉领域，指应用特定的数学方法来研究物理学的某些部分。对应的数学方法也叫数学物理方法。数学和物理学的发展在历史上一直密不可分，许多数学理论是在物理问题的基础上发展起来的；很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。不过，也只是互相参考而已，所有没有所谓的一定。

主要内容

• 微分方程的解算：很多物理问题，比如在经典力学和量子力学中求解运动方程，都可以被归结为在一定边界条件下的对微分方程的求解。因此求解微分方程成为数学物理的最重要组成部分。相关的数学工具包括：
  • 常微分方程的求解
  • 偏微分方程的求解
  • 特殊函数
  • 积分变换
  • 复变函数论
• 场的研究（场论）：场是现代物理的主要研究对象。电动力学研究电磁场；广义相对论研究引力场；规范场论研究规范场。对不同的可使用不同的数学工具，包括：
  • 矢量分析
  • 张量分析
  • 微分几何
  • 代数几何
  • 拓朴学
• 对称性的研究：对称性是物理中的重要概念。它是守恒律的基础，在晶体学和量子场论中都有重要应用。对称性由对称群或相关的代数结构描述，研究它的数学工具是：
  • 群论
  • 表示论
• 作用量（action）理论：作用量理论被广泛应用于物理学的各个领域，例如分析力学和路径积分。相关的数学工具包括：
  • 变分法
  • 泛函分析

参见

• 希尔伯特第六问题
• 理论物理学

文献

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of mechanics: a mathematical exposition of classical mechanics with an introduction to the qualitative theory of dynamical systems 2nd, Providence, [RI.]: AMS Chelsea Pub., 2008, ISBN 978-0-8218-4438-0 
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• Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of mathematical physics, New York, [NY.]: Interscience Publishers, 1989 
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