弹性力学

弹性力学，也称弹性理论，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

基本概念与基本假设

基本概念

作用于物体的外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

基本假设

连续性：假定物体是连续的，即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，并且在整个变形过程中保持其连续性。
完全弹性：假定物体是完全弹性的，即物体在引起形变的外力去除后能完全恢复其初始的形状和尺寸，物体的形变与其所受外力具有一一对应的函数关系。
均匀性：假定物体是均匀的，即整个物体的所有部分具有相同的弹性性质。
各向同性：既定物体是各向同性的，即物体的弹性性质在所有各个方向都相同，与考察方向无关。
小变形：假定物体受力后的位移和形变是微小的，整个物体所有个点的位移都远小于物体原来的尺寸，且应变与转角都远小于1。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

基本方程

平衡方程

应力形式的静力平衡方程

${\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + X = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + Y = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z = 0 \\ \end{align} }$

张量形式

${\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f} = \boldsymbol{0} }$

几何方程

应变与位移关系式

${\displaystyle \begin{align} \epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x},\quad \gamma_{yz} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \right) \\ \epsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \gamma_{zx} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \\ \epsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z},\quad \gamma_{xy} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \\ \end{align} }$

张量形式

${\displaystyle \boldsymbol{\epsilon} = \frac{1}{2} \left( \boldsymbol{u} \nabla + \nabla \boldsymbol{u} \right) }$

等向性材料的应力与应变关系式(胡克定律)（本构方程）

${\displaystyle \begin{align} \epsilon_x = \frac{1}{E} \left[ \sigma_x - \nu \left( \sigma_y + \sigma_z \right) \right],\quad \gamma_{yz} = \frac{1}{G} \tau_{yz} \\ \epsilon_y = \frac{1}{E} \left[ \sigma_y - \nu \left( \sigma_z + \sigma_x \right) \right],\quad \gamma_{zx} = \frac{1}{G} \tau_{zx} \\ \epsilon_z = \frac{1}{E} \left[ \sigma_z - \nu \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \right],\quad \gamma_{xy} = \frac{1}{G} \tau_{xy} \\ \end{align} }$

平面问题

平面应力问题

$\sigma_z = \tau_{zx} = \tau_{zy} = 0$

平面应变问题

$\epsilon_z = \gamma_{zx} = \gamma_{zy} = 0$

参见

参考文献

外部链接