求闻百科
搜索
切换搜索
切换菜单
切换个人菜单
查看“黎曼曲面”的源代码
求闻百科,共笔求闻
更多语言
阅读
查看源代码
查看历史
页面
讨论
更多操作
←
黎曼曲面
因为下列原因,您没有权限编辑本页。请逐条确认下列问题是否解决后再试。
您所请求的操作,仅限具有
注册用户
权限的
用户
执行。
若您尚未登录求闻百科账号,请您
登录
求闻百科账号后操作。
您尚未完成实名制验证,因此操作受限。请尽快
完成实名制验证
,或联系
裁决委员会
以
获取操作权限
。
注:若您是非中国大陆用户,您应当联络电子邮件staff
qiuwen.org以获得帮助。
您尚未完成
电子邮件确认
,因此操作受限,请尽快
完成电子邮件确认
。
若您无法完成前述手续,请参考
帮助文档
,或通过适当渠道请求管理员或裁决委员协助。
您可以查看和复制此页面的源代码。
若您无权编辑本页面,您可以
提出编辑请求
,提请有权限者代为编辑。
[[File:Riemann_sqrt.png|300px|缩略图|函数<math>f(z) =\sqrt[]{z}</math>的黎曼曲面]] [[数学]]上,特别是在[[复分析]]中,一个'''黎曼曲面'''是一个一维[[复流形]]。黎曼曲面可以被視为是一个[[复平面]]的变形版本:在每一点局部看来,他们就像一片复平面,但整体的[[拓扑]]可能极为不同。例如,他们可以看起来像[[球]]或是环,或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义[[全纯函数]]。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择,特别是像[[平方根]]和[[自然对数]]这样的[[多值函數]]。 每个黎曼曲面都是二维实解析[[流形]](也就是[[曲面]]),但它有更多的结构(特别是一个[[複結構]]),因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是[[可定向]]的。所以球和环有複結構,但是[[莫比乌斯带]],[[克莱因瓶]]和[[射影平面]]没有。 黎曼曲面的几何性质是最妙的,它们也给與其它曲线,流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。[[黎曼-罗赫定理]]就是这种影响的最佳例子。 == 形式化定义 == 令''X''为一个[[豪斯多夫空间]]。一个从开子集''U''⊂''C''到'''X'''的子集的[[同胚]]称为[[坐标卡]]。两个有重叠区域的坐标卡''f''和''g''称为相容的,如果映射''f'' o ''g''<sup>−1</sup>和''g'' o ''f''<sup>−1</sup>是在定义域上[[全纯]]的。若''A''一组相容的图,并且每个''X''中的''x''都在某个''f''的定义域中,则称''A''为一个[[图册 (拓扑学)|图册]]'。当我们赋予''X''一个图册''A'',我们称(''X'',''A'')为一个黎曼曲面。如果知道有图册,我们简称''X''为黎曼曲面。 不同的图册可以在''X''上给出本质上相同的黎曼曲面结构;为避免这种模糊性,我们有时候要求''X''为''极大''的,也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据[[佐恩引理]]每个图集''A''包含于一个唯一的最大图集中。 == 例子 == * [[复平面]]'''C'''可能是最平凡的黎曼曲面了。映射''f''(''z'') = ''z''(恒等映射)定义了'''C'''的一个图,而{''f''}是'''C'''的一个图集。映射''g''(''z'') = ''z<sup>*</sup>''([[复数共轭|共轭]])映射也定义了'''C'''的一个图而{''g''}也是'''C'''的一个图集。图''f''和''g''不相容,所以他们各自给了'''C'''一个黎曼曲面结构。事实上,给定黎曼曲面''X''及其图集''A'',共轭图集''B'' = {''f<sup>*</sup>'' : ''f'' ∈ A}总是不和''A''相容,因此赋予''X''一个不同的黎曼曲面结构。 * 类似的,每个复平面的[[开子集]]可以自然的视为黎曼曲面。更一般的,每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。 * 令''S'' = '''C''' ∪ {∞}并令''f''(''z'') = ''z''其中''z''属于''S'' \ {∞}并且令''g''(''z'') = 1 / ''z''其中''z''属于''S'' \ {0}以及定义1/∞为0.则''f''和''g''为图,它们相容,而{ ''f'', ''g'' }是''S''图集,使''S''成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为'''[[黎曼球]]'''因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不像复平面,它是一个[[紧空间]]。 * 紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异[[代数曲线]]等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出(见下面) == 属性和更多的定义 == 两个黎曼曲面''M''和''N''之间的[[函数]]''f'' : ''M'' → ''N''称为全纯,如果对于''M''的图集中的每个图''g''和''N''的图集中的每个图''h'',映射''h'' o ''f'' o ''g''<sup>−1</sup>在所有有定义的地方是全纯的(作为从'''C'''到'''C'''的函数)。两个全纯函数的複合是全纯的。两个黎曼曲面''M''和''N''称为'''保角等价'''(或'''共形等价'''),如果存在一个[[双射]]的从''M''到''N''的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。 每个[[单连通]]的黎曼曲面和'''C'''或黎曼球'''C''' ∪ {∞}或开圆盘{''z'' ∈ '''C''' : |''z''| < 1}保角等价。这个命题称为[[单值化定理]]。 每个连通黎曼曲面可以转成有常数[[曲率]]-1,0或1的[[完备]]实[[黎曼流形]]。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为'''双曲'''的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为'''抛物'''的;'''C'''是典型的抛物黎曼曲面。最后,有曲率+1的黎曼曲面称为'''椭圆'''的;[[黎曼球]]'''C''' ∪ {∞}是这样的一个例子。 对于每个闭抛物黎曼曲面,[[基本群]]同构于2阶[[格群]],因而曲面可以构造为'''C'''/Γ,其中'''C'''是複平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做[[基本域]]。 类似的,对每个双曲黎曼曲面,基本群同构于[[富克斯群]],因而曲面可以由[[富克斯模型]]'''H'''/Γ构造,其中'''H'''是[[上半平面]]而Γ是富克斯群。'''H'''/Γ陪集的代表是[[自由正则集]],可以作为度量[[基本多边形]]。 当一个双曲曲面是紧的,则曲面的总面积是<math>4\pi(g-1)</math>,其中''g''是曲面的[[亏格]];面积可由把[[高斯-博内定理]]应用到基本多边形的面积上来算出。 前面我们提到黎曼曲面,象所有複流形,象实流形一样[[可定向]]。因为複图''f''和''g''有变换函数''h'' = ''f''(''g''<sup>−1</sup>(''z'')),我们可以认为''h''是从'''R'''<sup>2</sup>开集到'''R'''<sup>2</sup>的映射,在点''z''的[[雅可比矩阵]]也就是由乘以複數''h'(z)''的运算给出的实线性变换。但是,乘以複數α的[[行列式]]等于|α|^2,所以''h''的雅可比阵有正的行列式值。所以,複图集是可定向图集。 == 历史 == [[黎曼]]最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。 == 相关主题 == * [[代数几何]] * [[共形几何]] * [[黎曼曲率張量]] * [[黎曼球面]] * [[凯勒流形]] * [[泰希米勒空间]] * [[兒童畫]](Dessin d'enfant) * 和黎曼曲面有关的定理 ** [[黎曼-罗赫定理]] ** [[黎曼-赫尔维茨公式]] ** [[黎曼映射定理]] ** [[单值化定理]] ** [[赫尔维茨自同构定理]] == 参考 == * Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'' (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 * Jurgen Jost, ''Compact Riemann Surfaces'' (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X * [http://planetmath.org/encyclopedia/RiemannSurface.html Riemann Surface] on Planet Math [[Category:黎曼曲面| ]] [[Category:微分几何|L]]
返回
黎曼曲面
。