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在[[範疇論]]這個[[數學]]領域中,'''集合範疇'''(標記為 '''Set''')是一個對象為[[集合 (数学)|集合]]的[[範疇 (數學)|範疇]]。集合 ''A'' 及 ''B'' 之間的[[態射|態射族]]包含所有從 ''A'' 映射至 ''B'' 的[[函數]]。 集合範疇是許多其他範疇(如其態射為[[群同態]]的[[群範疇]])的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。 == 證明集合範疇為範疇 == 已知一數學物件具有對象及態射,若該數學物件存在一態射複合,滿足[[結合律]],且具單位態射的話,則此數學物件為一範疇。 對任意三對象''A''、''B'' 及 ''C'',取任意兩函數''f''∈hom(A,B) 及''g''∈hom(B,C),可知其[[函數複合]]''g'' <small>o</small> ''f'' 為由''A'' 映射至''C'' 的函數,故''g'' <small>o</small> ''f''∈hom(A,C)。 因此,此集合範疇之函數複合為態射複合。 函數複合滿足結合律,且具[[恆等函數|單位函數]],因此集合範疇為一範疇。 == 性質 == 由于[[罗素悖论]],即所有集合的全体不能作为一个集合而存在,'''Set'''的对象[[类 (数学)|类]]为一[[真类]]。故'''Set'''为[[大范畴]]。 '''Set'''的[[满态射]]为[[满射函数]],[[单态射]]为[[单射函数]],[[同构态射]]为[[双射函数]]。 '''Set'''的[[始对象]]为[[空集]],[[终对象]]为任意[[单元素集合]]。'''Set'''无[[零对象]]。 '''Set'''为[[极限 (范畴论)|完全和上完全范畴]]。'''Set'''的[[积 (范畴论)|积]]为集合的[[笛卡儿积]];[[上积]]为[[不相交并]]:给定一组集合 ''A<sub>i</sub>''(''i'' ∈ ''I''),其上积可构造为''A''<sub>''i''</sub>×{''i''}的[[並集]]。这里与{''i''}的笛卡儿积保证了各集合不相交。 '''Set'''是[[具体范畴]]的原型;任何具体范畴均在某些方面类似'''Set'''。 '''Set'''中任意一个二元素集合是一[[分类子]]。集合''A''的[[幂对象]]为其[[幂集]]。从''A''到''B''的指数对象为从''A''到''B''函数的集合。因此,'''Set'''为一[[拓撲斯]] (且为[[笛卡儿闭范畴|笛卡儿闭]])。 '''Set'''既非[[阿贝尔范畴]],也非[[加法范畴]]或[[预加性范畴]]。'''Set'''无[[零态射]]。 任一'''Set'''的非始对象为[[单射对象]],也为[[投射模|投射对象]]<!--假定選擇公理?-->。 [[Category:範疇論中的範疇|J]] [[Category:集合論|J]]
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