范畴论：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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'''範疇論'''（{{lang-en|category theory}}）是[[數學]]的一門學科，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「[[態射]]」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。

範疇最容易理解的一個例子為[[集合範疇]]，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。

範疇最容易理解的一個例子為[[集合範疇]]，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一种方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。

範疇最簡單的例子之一為[[广群]]，其態射皆為可逆的。群胚的概念在[[拓撲學]]中很重要。[[範疇 (數學)|範疇]]現在在大部分的數學分支中都有出現，在[[理論電腦科學]]的某些領域中用于對應[[資料型別]]，而在[[數學物理]]中被用來描述[[向量空間]]。

範疇最簡單的例子之一為[[广群]]，其態射皆為可逆的。群胚的概念在[[拓撲學]]中很重要。[[範疇 (數學)|範疇]]現在在大部分的數學分支中都有出現，在[[理論電腦科学]]的某些領域中用于對應[[資料型別]]，而在[[數學物理]]中被用來描述[[向量空間]]。

範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「[[抽象廢話|一般化的抽象廢話]]」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。

範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數学家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「[[抽象廢話|一般化的抽象廢話]]」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。

== 背景 ==

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再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一種，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為[[函子]]。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。

再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一种，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為[[函子]]。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。

實際上，即是定義了一個「範疇和函子」的範疇，其元件為範疇，（範疇間的）態射為函子。

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# 一個[[類 (數學)|類]] <math>\mathrm{ob}(C) </math>，其元素稱為「物件」；

# 一個類 <math>\mathrm{hom}(C) </math>，其元素稱為「[[態射]]」或「箭號」。每個態射 <math>f </math> 都只有一個「源物件」 <math>a </math> 及一個「目標物件」 <math>b </math>（其中 <math>a </math> 和 <math>b </math> 都在 <math>\mathrm{ob}(C) </math> 內），稱之為「從 <math>a </math> 至 <math>b </math> 的態射」，標記為 <math>f : a \to b </math>。<br />所有從 <math>a </math> 至 <math>b </math> 的態射所組成的類稱之為「態射類」，標記為 <math>\mathrm{hom}(a, b) </math>、 <math>\mathrm{hom}_C(a, b) </math>或 <math>\mathrm{mor}(a, b) </math>。

# 一個[[二元運算]]，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 <math>a </math>、 <math>b </math> 及 <math>c </math>，都會有 <math>\circ : \mathrm{hom}(b, c) \times \mathrm{hom}(a, b) \to \mathrm{hom}(a, c) </math>。兩個態射 <math>f : a \to b </math> 及 <math>g : b \to c </math> 的複合寫做 <math>g \circ f </math> 或 <math>gf </math><ref>有些作者會以不同的次序做複合，將g ∘ f 寫做fg 或f ∘ g。研究電腦科學的學者在使用範疇論時經常將 <math>g \circ f </math> 寫做 <math>f ; g</math></ref>，並會符合下列兩個公理：

# 一個[[二元運算]]，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 <math>a </math>、 <math>b </math> 及 <math>c </math>，都會有 <math>\circ : \mathrm{hom}(b, c) \times \mathrm{hom}(a, b) \to \mathrm{hom}(a, c) </math>。兩個態射 <math>f : a \to b </math> 及 <math>g : b \to c </math> 的複合寫做 <math>g \circ f </math> 或 <math>gf </math><ref>有些作者會以不同的次序做複合，將g ∘ f 寫做fg 或f ∘ g。研究電腦科学的学者在使用範疇論時經常將 <math>g \circ f </math> 寫做 <math>f ; g</math></ref>，並會符合下列兩個公理：

#* [[結合律]]：若 <math>f : a \to b </math>、 <math>g : b \to c </math>及 <math>h : c \to d </math>，則 <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f </math>；

#* [[單位元]]：對任意物件 <math>x </math>，總存在一個態射 <math>1_x : x \to x </math>（稱為 <math>x </math> 的[[單位態射]]），使得對每個態射 <math>f : a \to b </math>，都會有 <math>1_b \circ f = f = f \circ 1_a </math>。

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 '''範疇論'''（{{lang-en|category theory}}）是[[數學]]的一門學科，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「[[態射]]」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。
-範疇最容易理解的一個例子為[[集合範疇]]，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。
+範疇最容易理解的一個例子為[[集合範疇]]，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一种方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。
-範疇最簡單的例子之一為[[广群]]，其態射皆為可逆的。群胚的概念在[[拓撲學]]中很重要。[[範疇 (數學)|範疇]]現在在大部分的數學分支中都有出現，在[[理論電腦科學]]的某些領域中用于對應[[資料型別]]，而在[[數學物理]]中被用來描述[[向量空間]]。
+範疇最簡單的例子之一為[[广群]]，其態射皆為可逆的。群胚的概念在[[拓撲學]]中很重要。[[範疇 (數學)|範疇]]現在在大部分的數學分支中都有出現，在[[理論電腦科学]]的某些領域中用于對應[[資料型別]]，而在[[數學物理]]中被用來描述[[向量空間]]。
-範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「[[抽象廢話|一般化的抽象廢話]]」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。
+範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數学家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「[[抽象廢話|一般化的抽象廢話]]」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。
 == 背景 ==
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 {{Main|函子}}
-再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一種，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為[[函子]]。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。
+再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一种，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為[[函子]]。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。
 實際上，即是定義了一個「範疇和函子」的範疇，其元件為範疇，（範疇間的）態射為函子。
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 # 一個[[類 (數學)|類]] <math>\mathrm{ob}(C) </math>，其元素稱為「物件」；
 # 一個類 <math>\mathrm{hom}(C) </math>，其元素稱為「[[態射]]」或「箭號」。每個態射 <math>f </math> 都只有一個「源物件」 <math>a </math> 及一個「目標物件」 <math>b </math>（其中 <math>a </math> 和 <math>b </math> 都在 <math>\mathrm{ob}(C) </math> 內），稱之為「從 <math>a </math> 至 <math>b </math> 的態射」，標記為 <math>f : a \to b </math>。<br />所有從 <math>a </math> 至 <math>b </math> 的態射所組成的類稱之為「態射類」，標記為 <math>\mathrm{hom}(a, b) </math>、 <math>\mathrm{hom}_C(a, b) </math>或 <math>\mathrm{mor}(a, b) </math>。
-# 一個[[二元運算]]，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 <math>a </math>、 <math>b </math> 及 <math>c </math>，都會有 <math>\circ : \mathrm{hom}(b, c) \times \mathrm{hom}(a, b) \to \mathrm{hom}(a, c) </math>。兩個態射 <math>f : a \to b </math> 及 <math>g : b \to c </math> 的複合寫做 <math>g \circ f </math> 或 <math>gf </math><ref>有些作者會以不同的次序做複合，將g ∘ f 寫做fg 或f ∘ g。研究電腦科學的學者在使用範疇論時經常將 <math>g \circ f </math> 寫做 <math>f ; g</math></ref>，並會符合下列兩個公理：
+# 一個[[二元運算]]，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 <math>a </math>、 <math>b </math> 及 <math>c </math>，都會有 <math>\circ : \mathrm{hom}(b, c) \times \mathrm{hom}(a, b) \to \mathrm{hom}(a, c) </math>。兩個態射 <math>f : a \to b </math> 及 <math>g : b \to c </math> 的複合寫做 <math>g \circ f </math> 或 <math>gf </math><ref>有些作者會以不同的次序做複合，將g ∘ f 寫做fg 或f ∘ g。研究電腦科学的学者在使用範疇論時經常將 <math>g \circ f </math> 寫做 <math>f ; g</math></ref>，並會符合下列兩個公理：
 #* [[結合律]]：若 <math>f : a \to b </math>、 <math>g : b \to c </math>及 <math>h : c \to d </math>，則 <math>h \circ  (g \circ f) = (h \circ g) \circ f </math>；
 #* [[單位元]]：對任意物件 <math>x </math>，總存在一個態射 <math>1_x : x \to x </math>（稱為 <math>x </math> 的[[單位態射]]），使得對每個態射 <math>f : a \to b </math>，都會有 <math>1_b \circ f = f = f \circ 1_a </math>。