自然对数：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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[[File:Mplwp ln.svg|~~缩略图~~|300px|自然對數<math>\ln(x)</math>的[[函數圖像]]。]]

[[File:Mplwp ln.svg|thumb|300px|自然對數<math>\ln(x)</math>的[[函數圖像]]。]]

[[File:Log-def.svg|~~缩略图~~|300px|自然对数的積分定義。]]

[[File:Log-def.svg|thumb|300px|自然对数的積分定義。]]

第14行：

== 歷史 ==

=== 十七世纪 ===

[[File:Hyperbolic sector.svg|~~缩略图~~|250px|右|[[雙曲線扇形]]是[[笛卡爾平面]]<math>\{(x,y)\}</math>上的一個區域，由從原點到<math>(a,\frac{1}{a})</math>和<math>(b,\frac{1}{b})</math>的射線，以及[[雙曲線]]<math>xy=1</math>圍成。在標準位置的雙曲線扇形有<math>a=1</math>且<math>b>1</math>，它的面積為<math>\ln(b)</math><ref>證明：從1到''b''積分1/''x''，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}。</ref>，此時雙曲線扇形對應正[[雙曲角]]。]]

[[File:Hyperbolic sector.svg|thumb|250px|right|[[雙曲線扇形]]是[[笛卡爾平面]]<math>\{(x,y)\}</math>上的一個區域，由從原點到<math>(a,\frac{1}{a})</math>和<math>(b,\frac{1}{b})</math>的射線，以及[[雙曲線]]<math>xy=1</math>圍成。在標準位置的雙曲線扇形有<math>a=1</math>且<math>b>1</math>，它的面積為<math>\ln(b)</math><ref>證明：從1到''b''積分1/''x''，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}。</ref>，此時雙曲線扇形對應正[[雙曲角]]。]]

[[File:Gregoire de St Vincent Quadrature.svg|~~缩略图~~|250px|當直角雙曲線下的兩段面積相等時，<math>x</math>的值呈[[等比數列]]，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k</math>，<math>y</math>的值也呈等比數列，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}</math>。]]

[[File:Gregoire de St Vincent Quadrature.svg|thumb|250px|當直角雙曲線下的兩段面積相等時，<math>x</math>的值呈[[等比數列]]，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k</math>，<math>y</math>的值也呈等比數列，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}</math>。]]

[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge~~|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala~~}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14，Section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數<math>e</math>，而[[約翰·納皮爾]]的底數0.999999910000000相當接近<math>\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[[Henry Briggs]]建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。

[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14，Section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數<math>e</math>，而[[約翰·納皮爾]]的底數0.999999910000000相當接近<math>\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[[Henry Briggs]]建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。

形如<math>f(x)=x^p</math>的曲線都有一個代數[[反導數]]，除了特殊情況<math>p=-1</math>對應於雙曲線的{{en-link|弓形面積|Quadrature (mathematics)}}，即[[雙曲線扇形]]；其他情況都由1635年發表的{{en-link|卡瓦列里弓形面積公式|Cavalieri's quadrature formula}}給出<ref>[[博納文圖拉·卡瓦列里]]在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[[定積分]]：

第89行：

== 導數 ==

[[File:Logarithm derivative.svg|右|~~缩略图~~|300px|自然對數的圖像和它在<math>x=1.5</math>處的切線。]]

[[File:Logarithm derivative.svg|right|thumb|300px|自然對數的圖像和它在<math>x=1.5</math>處的切線。]]

[[File:LogTay.svg|300px|~~缩略图~~|右|<math>\ln(1+x)</math>的泰勒多項式只在<math>-1<x\leq 1</math>範圍內有逐步精確的近似。]]

[[File:LogTay.svg|300px|thumb|right|<math>\ln(1+x)</math>的泰勒多項式只在<math>-1<x\leq 1</math>範圍內有逐步精確的近似。]]

自然對數的[[導數]]為

第97行：

證明一（微積分第一基本定理）:<math>\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}</math>

證明二: ~~[https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28~~ 按此影片]

證明二: 按此影片

:<math>\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}</math>

第120行：

::::<math>=\frac {1}{x}</math>

用自然對數定義的更一般的對數函數，<math>\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>，根據其[[逆函數]]即一般[[指數函數]]的性質，它的導數為<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{Cite WolframAlpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|urlname=d/dx(Log(b,x))~~|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718075346/http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29 |archive-date=2011-07-18 |dead-url=yes~~ }}</ref>：

用自然對數定義的更一般的對數函數，<math>\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>，根據其[[逆函數]]即一般[[指數函數]]的性質，它的導數為<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{Cite WolframAlpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|urlname=d/dx(Log(b,x))}}</ref>：

: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>

根據[[鏈式法則]]，以<math>f(x)</math>為參數的自然對數的導數為

第187行：

== 與雙曲函數的關係 ==

[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|右|250px|~~缩略图~~|在[[直角雙曲線]](方程<math>y=\frac{1}{x}</math>)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[[雙曲角]]''<math>u</math>''的[[雙曲線扇形]](紅色)。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]

[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|right|250px|thumb|在[[直角雙曲線]](方程<math>y=\frac{1}{x}</math>)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[[雙曲角]]''<math>u</math>''的[[雙曲線扇形]](紅色)。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]

[[File:Hyperbolic functions-2.svg|~~缩略图~~|250px|右|射線出原點交[[單位雙曲線]]<math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math>於點<math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>，這裡的<math>\scriptstyle a</math>是射線、雙曲線和<math>\scriptstyle x</math>軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]

[[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|250px|right|射線出原點交[[單位雙曲線]]<math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math>於點<math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>，這裡的<math>\scriptstyle a</math>是射線、雙曲線和<math>\scriptstyle x</math>軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]

在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]介入[[雙曲函數]]<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59|~~url=http://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59~~|quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99|~~url=http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99~~|quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.}}</ref>。對數函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y=x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。

在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]介入[[雙曲函數]]<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59||quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99||quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.}}</ref>。對數函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y=x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。

通過旋轉和縮小[[線性變換]]，得到[[單位雙曲線]]下的情況，有：

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== 註釋與引用 ==

== 參考 ==

* [[John B. Conway]], ''Functions of one complex variable'', 2nd edition, Springer, 1978.

* [[Serge Lang]], ''Complex analysis'', 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.

* Gino Moretti, ''Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964.

* Donald Sarason, ''~~[http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw~~ Complex function theory]'', 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.

* Donald Sarason, ''Complex function theory'', 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.

* [[E. T. Whittaker]] and [[G. N. Watson]], ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

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-[[File:Mplwp ln.svg|缩略图|300px|自然對數<math>\ln(x)</math>的[[函數圖像]]。]]
+[[File:Mplwp ln.svg|thumb|300px|自然對數<math>\ln(x)</math>的[[函數圖像]]。]]
-[[File:Log-def.svg|缩略图|300px|自然对数的積分定義。]]
+[[File:Log-def.svg|thumb|300px|自然对数的積分定義。]]
 {{NoteTA |G1=Math}}
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 == 歷史 ==
 === 十七世纪 ===
-[[File:Hyperbolic sector.svg|缩略图|250px|右|[[雙曲線扇形]]是[[笛卡爾平面]]<math>\{(x,y)\}</math>上的一個區域，由從原點到<math>(a,\frac{1}{a})</math>和<math>(b,\frac{1}{b})</math>的射線，以及[[雙曲線]]<math>xy=1</math>圍成。在標準位置的雙曲線扇形有<math>a=1</math>且<math>b>1</math>，它的面積為<math>\ln(b)</math><ref>證明：從1到''b''積分1/''x''，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}。</ref>，此時雙曲線扇形對應正[[雙曲角]]。]]
+[[File:Hyperbolic sector.svg|thumb|250px|right|[[雙曲線扇形]]是[[笛卡爾平面]]<math>\{(x,y)\}</math>上的一個區域，由從原點到<math>(a,\frac{1}{a})</math>和<math>(b,\frac{1}{b})</math>的射線，以及[[雙曲線]]<math>xy=1</math>圍成。在標準位置的雙曲線扇形有<math>a=1</math>且<math>b>1</math>，它的面積為<math>\ln(b)</math><ref>證明：從1到''b''積分1/''x''，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}。</ref>，此時雙曲線扇形對應正[[雙曲角]]。]]
-[[File:Gregoire de St Vincent Quadrature.svg|缩略图|250px|當直角雙曲線下的兩段面積相等時，<math>x</math>的值呈[[等比數列]]，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k</math>，<math>y</math>的值也呈等比數列，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}</math>。]]
+[[File:Gregoire de St Vincent Quadrature.svg|thumb|250px|當直角雙曲線下的兩段面積相等時，<math>x</math>的值呈[[等比數列]]，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k</math>，<math>y</math>的值也呈等比數列，<math>\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}</math>。]]
-[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14，Section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.0001<sup>10000</sup>相當接近自然對數的底數<math>e</math>，而[[約翰·納皮爾]]的底數0.9999999<sup>10000000</sup>相當接近<math>\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[[Henry Briggs]]建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。
+[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14，Section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.0001<sup>10000</sup>相當接近自然對數的底數<math>e</math>，而[[約翰·納皮爾]]的底數0.9999999<sup>10000000</sup>相當接近<math>\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[[Henry Briggs]]建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。
 形如<math>f(x)=x^p</math>的曲線都有一個代數[[反導數]]，除了特殊情況<math>p=-1</math>對應於雙曲線的{{en-link|弓形面積|Quadrature (mathematics)}}，即[[雙曲線扇形]]；其他情況都由1635年發表的{{en-link|卡瓦列里弓形面積公式|Cavalieri's quadrature formula}}給出<ref>[[博納文圖拉·卡瓦列里]]在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[[定積分]]：
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 == 導數 ==
-[[File:Logarithm derivative.svg|右|缩略图|300px|自然對數的圖像和它在<math>x=1.5</math>處的切線。]]
+[[File:Logarithm derivative.svg|right|thumb|300px|自然對數的圖像和它在<math>x=1.5</math>處的切線。]]
-[[File:LogTay.svg|300px|缩略图|右|<math>\ln(1+x)</math>的泰勒多項式只在<math>-1<x\leq 1</math>範圍內有逐步精確的近似。]]
+[[File:LogTay.svg|300px|thumb|right|<math>\ln(1+x)</math>的泰勒多項式只在<math>-1<x\leq 1</math>範圍內有逐步精確的近似。]]
 自然對數的[[導數]]為
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 證明一 （微積分第一基本定理）:<math>\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}</math>
-證明二: [https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28 按此影片]
+證明二: 按此影片
 :<math>\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}</math>
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 ::::<math>=\frac {1}{x}</math>
-用自然對數定義的更一般的對數函數，<math>\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>，根據其[[逆函數]]即一般[[指數函數]]的性質，它的導數為<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{Cite WolframAlpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|urlname=d/dx(Log(b,x))|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718075346/http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29 |archive-date=2011-07-18 |dead-url=yes }}</ref>：
+用自然對數定義的更一般的對數函數，<math>\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}</math>，根據其[[逆函數]]即一般[[指數函數]]的性質，它的導數為<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{Cite WolframAlpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|urlname=d/dx(Log(b,x))}}</ref>：
 : <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
 根據[[鏈式法則]]，以<math>f(x)</math>為參數的自然對數的導數為
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 == 與雙曲函數的關係 ==
-[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|右|250px|缩略图|在[[直角雙曲線]](方程<math>y=\frac{1}{x}</math>)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[[雙曲角]]''<math>u</math>''的[[雙曲線扇形]](紅色)。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]
+[[File:Cartesian hyperbolic triangle.svg|right|250px|thumb|在[[直角雙曲線]](方程<math>y=\frac{1}{x}</math>)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[[雙曲角]]''<math>u</math>''的[[雙曲線扇形]](紅色)。這個三角形的邊分別是[[雙曲函數]]中<math>\cosh</math>和<math>\sinh</math>的<math>\sqrt{2}</math>倍。]]
-[[File:Hyperbolic functions-2.svg|缩略图|250px|右|射線出原點交[[單位雙曲線]]<math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math>於點<math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>，這裡的<math>\scriptstyle a</math>是射線、雙曲線和<math>\scriptstyle x</math>軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]
+[[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|250px|right|射線出原點交[[單位雙曲線]]<math>\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1</math>於點<math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>，這裡的<math>\scriptstyle a</math>是射線、雙曲線和<math>\scriptstyle x</math>軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]
-在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]介入[[雙曲函數]]<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59|url=http://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59|quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99|url=http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99|quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.}}</ref>。對數函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y=x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。
+在18世紀，[[約翰·海因里希·蘭伯特]]介入[[雙曲函數]]<ref>{{citation|title=Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics|first=Howard|last=Eves|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486132204|page=59||quote=We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.}}</ref>，並計算[[雙曲幾何]]中[[雙曲三角形]]的面積<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99||quote=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.}}</ref>。對數函數是在[[直角雙曲線]]<math>xy=1</math>下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線<math>y=x</math>上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[[指數函數]]，即要形成指定[[雙曲角]]<math>u</math>，在漸近線即x或y軸上需要有的<math>x</math>或<math>y</math>的值。顯見這裡的底邊是<math>\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>，垂線是<math>\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}</math>。
 通過旋轉和縮小[[線性變換]]，得到[[單位雙曲線]]下的情況，有：
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 == 註釋與引用 ==
 {{reflist}}
 == 參考 ==
 * [[John B. Conway]], ''Functions of one complex variable'', 2nd edition, Springer, 1978.
 * [[Serge Lang]], ''Complex analysis'', 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
 * Gino Moretti, ''Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964.
-* Donald Sarason, ''[http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw Complex function theory]'', 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
+* Donald Sarason, ''Complex function theory'', 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
 * [[E. T. Whittaker]] and [[G. N. Watson]], ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1927.