矩阵：修订间差异

{{NoteTA

|G1 = Math

}}

{{线性代数}}

作为解決线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在[[东汉]]前期的《[[九章算术]]》中，已经出现过以矩阵形式表示线性方程组系数以解方程的图例，可视为矩阵的雏形<ref>{{Harvard citations |last1=Shen |last2=Crossley |last3=Lun |year=1999 |nb=yes }}</ref>。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在[[行列式]]的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在历史上则恰好相反。日本数学家[[关孝和]]（1683年）与微积分的发现者之一[[戈特弗里德·威廉·莱布尼茨]]（1693年）近乎同时独立建立了[[行列式|行列式论]]。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，[[加布里尔·克拉默]]发现了[[克莱姆法则]]<ref name="autogenerated2002">{{Harvard citations |last1=克莱因|year=2002 |nb=yes |loc=第33章第4节}}</ref>。

进入十九世纪后，行列式的研究进一步发展，矩阵的概念也应运而生。[[奥古斯丁·路易·柯西]]是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。他还在1829年就在行列式的框架中证明了实对称矩阵特征根为实数的结论<ref>{{Harvard citations |last1=Hawkins |year=1975 |nb=yes }}</ref>。其后，[[詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特]]注意到，在作为行列式的计算形式以外，将数以行和列的形式作出的矩形排列本身也是值得研究的。在他希望引用数的矩形阵列而又不能用行列式来形容的时候，就用“matrix”一词来形容<ref name="autogenerated2002"/>。而在此之前，数学家已经开始将增广矩阵作为独立的对象引用了。西尔维斯特使用“matrix”一词是因为他希望讨论行列式的[[子式]]，即将矩阵的某几行和某几列的共同元素取出来排成的矩阵的行列式，所以实际上“matrix”被他看做是生成各种子式的“母-{}-体”：

{{quote|width=70%

== 矩阵乘法 ==

{{main|矩阵乘法}}

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵<math>\mathbf{A}</math>的-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-数(column)和另一个矩阵<math>\mathbf{B}</math>的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-数(row)相等时才能定义。如<math>\mathbf{A}</math>是<math>m \times n</math>矩阵和<math>\mathbf{B}</math>是<math>n \times p</math>矩阵，它们的'''乘积'''<math>\mathbf{AB}</math>是一个<math>m \times p</math>矩阵，它的一个元素

=== 行列式 ===

{{main|行列式}}

方块矩阵<math>\mathbf{A}</math>的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作<math>\det(\mathbf{A})</math>或<math>\mathbf{|A|}</math>，反映了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵<math>\mathbf{A}</math>的行列式的[[绝对值]]表示单位面积（体积）的图形经过<math>\mathbf{A}</math>对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆转空间定向。

[[LU分解]]将矩阵分解为一个下三角矩阵<math>\mathbf{L}</math>和一个上三角矩阵<math>\mathbf{U}</math>的乘积<ref>{{Harvard citations |last1=Press |last2=Flannery |last3=Teukolsky |year=1992 |nb=yes }}</ref>。分解后的矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵<math>\mathbf{A}</math>分解成<math>\mathbf{A}=\mathbf{LU}</math>的形式，那么方程的求解可以分解为求解<math>\mathbf{Ly}=\mathbf{b}</math>和<math>\mathbf{Ux}=\mathbf{y}</math>两步，而后两个方程可以十分简洁地求解（详见[[三角矩阵]]中“向前与向后替换”一节）。又例如在求矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵<math>\mathbf{A}</math>的行列式，需要计算大约<math>(n+1)!</math>次加法和乘法；而如果先对矩阵做<math>\mathbf{LU}</math>分解，再求行列式，就只需要大约<math>n^3</math>次加法和乘法，大大降低了计算次数。这是因为做<math>\mathbf{LU}</math>分解的复杂度大约是<math>n^3</math>次，而后注意到<math>\mathbf{L}</math>和<math>\mathbf{U}</math>是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。

高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为[[阶梯形矩阵]]，而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的[[初等矩阵]]<ref>{{Harvard citations |last1=Stoer |last2=Bulirsch |year=2002 |nb=yes |loc=Section 4.1 }}</ref>。[[奇异值分解]]则是另一种分解方法，将一个矩阵表示成3个矩阵的乘积：<math>\mathbf{A}=\mathbf{UDV}</math>。其中<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>是[[酉矩阵]]，<math>\mathbf{D}</math>是[[对角矩阵]]。

=== 图论 ===

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 1 \\

在多元函数微积分学中，对二阶偏导数存在的函数<math>f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}</math>，可以定义其[[海森矩阵]]<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=1987a |nb=yes |loc=Ch. XVI.6 }}</ref>：

:<math>H(f)(x) = \left[ \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j}(x) \right ]</math>。

2 & 0 \\

0 & -2

; 历史

; 在线书籍

* {{Citation |title=MacAnova |url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html |last1=Oehlert |first1=Gary W. |last2=Bingham |first2=Christopher |publisher=[[明尼苏达大学|University of Minnesota]], School of Statistics |accessdate=2008-12-10 }}, a freeware package for matrix algebra and statistics

* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.idomaths.com/matrix.php |accessdate=2009-12-14 }}

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:线性代数|J]]