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渐近线
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在解析几何中,曲线的渐近线是一条线,使得当x或y坐标之一或两者趋于无穷大时,曲线与该线之间的距离接近零。在射影几何和相关上下文中,曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。 渐近线这个词源于希腊语ἀσύμπτωτος(asumptōtos),意为“不在一起。 +σύν“在一起” +πτωτ-ός“堕落”。该术语是Perga的Apollonius在其圆锥截面的工作中引入的,但与它的现代含义相反,他用它来表示不与给定曲线相交的任何直线。 有三种渐近线:水平,垂直和倾斜。对于由函数y =ƒ(x)的图给出的曲线,水平渐近线是水平线,函数的图随着x趋于+∞或-∞趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线,函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限,因此当x趋于+∞或-∞时,函数的图接近该斜率。 更一般地说,如果两条曲线之间的距离趋于无穷大,则两条曲线之间的距离趋向于零,则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线,尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。 渐近线传达有关大曲线特性的信息,确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲,对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意[[曲线]]上一点<math>M</math>沿曲线无限远离[[原点]]时,如果<math>M</math>到一条[[直线]](或另外一条[[曲线]])的[[距离]][[无限]][[極限|趋近]]于零,那么这条直线(曲线)称为这条曲线的'''渐近线'''。數學上的定義則是:若函數<math>y=f \left(x \right)</math>的圖形[[收斂]],則漸近線為<math>y=\lim_{x \to \infty} f \left(x \right)</math>。 == 例解 == 例如,直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>是[[双曲线]]<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>的渐近线,因为双曲线上的点<math>M</math>到直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>的距离<math>MQ<MN</math>;当<math>MN</math>无限趋近于0时,<math>MQ</math>也无限趋近于0。所以按照定义,直线<math>y=\frac{b}{a}x</math>是该双曲线的渐近线。同理,直线<math>y=-\frac{b}{a}x</math>也是该双曲线的渐近线。 对于<math>F\left(x,y \right)=0</math>来说,如果当<math>x \rightarrow a</math>时,有<math>y \rightarrow \pm\infty</math>(左右極限不一定相等),就把<math>x=a</math>叫做<math>F \left(x,y \right)=0</math>的垂直渐近线;如果当<math>x \rightarrow \infty</math>时,有<math>y \rightarrow b</math>,就把<math>y=b</math>叫做<math>F \left(x,y \right)=0</math>的水平渐近线。例如,<math>y=3</math>是曲线<math>xy=3x+2</math>的水平渐近线。 == 求法 == === 依据 === 求渐近线,可以依据以下结论: 若[[极限]]<math>\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a</math>存在,且极限<math>\lim_{x \to + \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b</math>也存在,那么曲线<math>y=f \left(x \right)</math>具有渐近线<math>y=ax+b</math>。 === 例子 === 例:求<math>y=\frac{x^2}{1+x}</math>的渐近线。 解:(1)<math>x=-1</math>为其垂直渐近线。 (2)<math>\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x}</math>,即<math>a=1</math>; <math>\lim_{x \to \infty} \left[f \left(x \right) -ax \right]=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1</math>,即<math>b=-1</math>; 所以<math>y=x-1</math>也是其渐近线。 {{mathstub}} [[Category:数学分析]]
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