模型论：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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'''模型论'''({{lang-en|Model theory}})一般是指数学中[[集合论]]的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为[[数学系统]]基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些[[运算]]或者一些[[关系 (数学)|关系]]乃至一组[[公理]]被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

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理论被称为'''可满足的'''，如果它有模型。

例如，[[偏序]]的'''语言'''有一个[[二元关系]]≥。因而偏序的''语言''的'''结构'''就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的[[公理]]，则它是偏序的''理论''的'''模型'''。

例如，[[偏序]]的'''语言'''有一个[[二元关系]]≥。因而偏序的''语言''的'''结构'''就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的[[公理]]，則它是偏序的''理论''的'''模型'''。

== 定理 ==

[[哥德尔完备性定理]]表明理论有一个模型当且仅当它是[[一致性 (邏辑)|一致]]的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和[[完备理论]]的概念混淆。一个完备的理论是包含每个[[句子]]或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。

[[哥德爾完備性定理]]表明理论有一个模型当且仅当它是[[一致性 (邏輯)|一致]]的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和[[完备理论]]的概念混淆。一个完备的理论是包含每个[[句子]]或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。

[[紧致性定理]]说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是[[库尔特·哥德尔]]提出的（通过证明论），另一个是[[阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫]]提出的（这个更直接，并允许我们限制最后模型的基数）。

模型论一般与[[一阶逻辑]]有关。许多模型论的重要结果（例如哥德尔完备性定理和[[紧致性定理]]）在[[二阶逻辑]]或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个[[可数集|可数]]的语言，任何理论都有可数的模型。这在[[勒文海姆-斯科伦定理]]中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。

模型论一般与[[一阶逻辑]]有关。许多模型论的重要结果（例如哥德爾完備性定理和[[紧致性定理]]）在[[二阶逻辑]]或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个[[可数集|可数]]的语言，任何理论都有可数的模型。这在[[勒文海姆-斯科伦定理]]中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。

莫雷（[[Morley]]）证明了著名的[[范畴定理]]。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来对{{le|稳定理论|stable theory}}的研究。

莫雷（[[Morley]]）证明了著名的[[范畴定理]]。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来對{{le|稳定理论|stable theory}}的研究。

近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是[[代数]]和[[代数几何]]的应用。

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[[Category:模型论| ]]

[[Category:数理邏辑|M]]

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-{{Distinguish|数学模型}}
+{{Distinguish|數學模型}}
 {{not|模控学}}
 '''模型论'''({{lang-en|Model theory}})一般是指数学中[[集合论]]的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为[[数学系统]]基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些[[运算]]或者一些[[关系 (数学)|关系]]乃至一组[[公理]]被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。
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 理论被称为'''可满足的'''，如果它有模型。
-例如，[[偏序]]的'''语言'''有一个[[二元关系]]≥。因而偏序的''语言''的'''结构'''就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的[[公理]]，则它是偏序的''理论''的'''模型'''。
+例如，[[偏序]]的'''语言'''有一个[[二元关系]]≥。因而偏序的''语言''的'''结构'''就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的[[公理]]，則它是偏序的''理论''的'''模型'''。
 == 定理 ==
-[[哥德尔完备性定理]]表明理论有一个模型当且仅当它是[[一致性 (邏辑)|一致]]的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和[[完备理论]]的概念混淆。一个完备的理论是包含每个[[句子]]或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。
+[[哥德爾完備性定理]]表明理论有一个模型当且仅当它是[[一致性 (邏輯)|一致]]的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和[[完备理论]]的概念混淆。一个完备的理论是包含每个[[句子]]或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。
 [[紧致性定理]]说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是[[库尔特·哥德尔]]提出的（通过证明论），另一个是[[阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫]]提出的（这个更直接，并允许我们限制最后模型的基数）。
-模型论一般与[[一阶逻辑]]有关。许多模型论的重要结果（例如哥德尔完备性定理和[[紧致性定理]]）在[[二阶逻辑]]或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个[[可数集|可数]]的语言，任何理论都有可数的模型。这在[[勒文海姆-斯科伦定理]]中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。
+模型论一般与[[一阶逻辑]]有关。许多模型论的重要结果（例如哥德爾完備性定理和[[紧致性定理]]）在[[二阶逻辑]]或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个[[可数集|可数]]的语言，任何理论都有可数的模型。这在[[勒文海姆-斯科伦定理]]中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。
-莫雷（[[Morley]]）证明了著名的[[范畴定理]]。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来对{{le|稳定理论|stable theory}}的研究。
+莫雷（[[Morley]]）证明了著名的[[范畴定理]]。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来對{{le|稳定理论|stable theory}}的研究。
 近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是[[代数]]和[[代数几何]]的应用。
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-[[Category:数理邏辑|M]]
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