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（我来啦, replaced: 學 → 学 (11), 長 → 长, 導 → 导, 構 → 构, 將 → 将, 來 → 来 (6), 義 → 义, 對 → 对, 動 → 动, 發 → 发, 號 → 号, 簡 → 简, 稱 → 称 (4), 為 → 为 (14), 種 → 种, 數 → 数 (8), 據 → 据, 實 → 实, 並 → 并 (2), 後 → 后 (2), 論 → 论 (6), 統 → 统, 測 → 测, 過 → 过 (6), 現 → 现 (3), 個 → 个 (7), 斷 → 断, 當 → 当 (3), 規 → 规, 設 → 设, 結 → 结 (5), 繼 → 继, 還 → 还, 單 → 单, 陳 → 陈 (2), 敘 → 叙 (18), 寫 → 写 (2), 證 → 证 (11), 題 → 题 (11), 視 → 视, 時 → 时 (3), 許 → 许, 則 → 则 (3), 條 → 条 (7), 經 → 经 (4), 從 → 从 (3), 補 → 补, 隨 → 随, 輯 → 辑 (4), 輔 → 辅, 說 → 说 (3), 「 → “, 」 → ”） 标签：消歧义链接 |
小 （→逻辑中的定理：清理） |
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:对所有在<math>T</math>中的命题<math>\varphi</math>，如果<math>T\vDash\varphi</math>，那么<math>\varphi\in T</math>。 |
:对所有在<math>T</math>中的命题<math>\varphi</math>，如果<math>T\vDash\varphi</math>，那么<math>\varphi\in T</math>。 |
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比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在'''所有'''建立在语言集合<math>L</math>上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理<math>T</math>的'''扩展'''（extension），前提是该定理包含定理<math>T</math>。 |
比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在'''所有'''建立在语言集合<math>L</math>上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理<math>T</math>的'''扩展'''（extension），前提是该定理包含定理<math>T</math>。 |
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有一个命题集合<math>A</math>，我们将一个包含<math>A</math>的集合记作<math>\mbox{Th}(A)</math>，那麽<math>\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}</math> 。显而易见<math>A\vDash\mbox{Th}(A)</math>，所以<math>\mbox{Th}(A)</math>是一个定理。比如我们有一个集合<math>G</math>，<math>G</math>有三个基于语言<math>L</math>上的命题，其中<math>L=\{e,f\}</math>，<math>e</math>是常数符号，<math>f</math>是函数符号。三个命题如下： |
有一个命题集合<math>A</math>，我们将一个包含<math>A</math>的集合记作<math>\mbox{Th}(A)</math>，那麽<math>\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}</math> 。显而易见<math>A\vDash\mbox{Th}(A)</math>，所以<math>\mbox{Th}(A)</math>是一个定理。比如我们有一个集合<math>G</math>，<math>G</math>有三个基于语言<math>L</math>上的命题，其中<math>L=\{e,f\}</math>，<math>e</math>是常数符号，<math>f</math>是函数符号。三个命题如下： |
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:<math>\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math>， |
:<math>\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math>， |
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| 第41行： | 第39行： | ||
:<math>\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e </math>。 |
:<math>\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e </math>。 |
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那么如果有<math>\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}</math>，则<math>\mbox{Th}(G)</math>是<math>G</math>的定理。当然，如果<math>A</math>和<math>B</math>是两个命题集合且满足<math>A\subseteq B</math>，那么<math>\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)</math>。 |
那么如果有<math>\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}</math>，则<math>\mbox{Th}(G)</math>是<math>G</math>的定理。当然，如果<math>A</math>和<math>B</math>是两个命题集合且满足<math>A\subseteq B</math>，那么<math>\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)</math>。 |
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我们说一个定理<math>T</math>是'''完整的'''（Complete），当且仅当对于和<math>T</math>一样构建在同样语言集合上的'''所有'''命题<math>\varphi</math>，要么<math>\varphi\in T</math>，要么<math>\lnot\varphi\in T</math>。 |
我们说一个定理<math>T</math>是'''完整的'''（Complete），当且仅当对于和<math>T</math>一样构建在同样语言集合上的'''所有'''命题<math>\varphi</math>，要么<math>\varphi\in T</math>，要么<math>\lnot\varphi\in T</math>。 |
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:'''注意：'''这个概念不能和定理<math>T</math>的'''完备性'''（Completude）混淆，完备性是证明在定理<math>T</math>中的永真命题是'''递推可枚举的'''（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。 |
:'''注意：'''这个概念不能和定理<math>T</math>的'''完备性'''（Completude）混淆，完备性是证明在定理<math>T</math>中的永真命题是'''递推可枚举的'''（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。 |
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