关系（数学）：修订间差异

在[[數學]]上，'''關係'''是對如[[等於]]''<math>=</math>''或[[序理論|序]]''<math><</math>''等[[二元關係]]的廣義化。

參考一個如「''X''认为''Y''喜歡''Z''」之類的關係，其實際情形如下：

|+ '''關係S : X认为Y喜歡Z'''

上表的每一行都代表著一個事實，並給出「''X''认为''Y''喜歡''Z''」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如认为凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合''P''上的關係''S''，其中：

若較不嚴謹些，通常會將''S''(韻如，凯文，佳馨)用來指上表中第一行的同一种關係。關係''S''為「三元」關係，因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以[[集合論]]中的概念定義出的數學物件（即關係為{X,Y,Z}的[[笛卡兒積]]的子集），包含了表中所有的訊息。因此，數學上來說，關係純粹是個[[集合 (数学)|集合]]。

''k''元關係在數學上有兩種常見的定義。

'''定義1'''在集合''X''₁,…,''X''_''k''上的'''關係'''''L''是指集合的[[笛卡兒積]]的[[子集]]，寫成''L'' ⊆ ''X''₁ ×…× ''X''_''k''。因此，在此定義下，''k''元關係就是個[[多元組|''k''元組]]的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣－說「某某為一''n''元組」即表示此一某某數學物件是由''n''組數學物件的描述來判定的。在集合''X''₁,…,''X''_''k''上的關係''L''中，會有''k''+1件事要描述，即''k''個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下，''L''可以說是一個''k''+1元組。

'''定義2'''在集合''X''₁,…,''X''_''k''上的'''關係'''''L''是一個''k''+1元組''L'' = (''X''₁,…, ''X''_''k'', ''G''(''L''))，其中''G''(''L'')是笛卡兒積''X''₁ ×…× ''X''_''k''的子集，稱之為''L''的「[[關係圖]]」。

兩個正整數''n''和''m''之間「[[因數|可除性]]」的關係是指「''n'' [[整除]]''m''」。此一關係通常用一特殊的符号「 | 」來表示它，寫成「''n''|''m''」來表示「''n''整除''m''」。

若要以集合來代表這二元關係，即是設正整數的集合''P'' = {1,2,3,…}，然後可除性就是一個在''P''上的二元關係''D''，其中''D''為一包含了所有''n''|''m''的有序對 (''n'',''m'')。

對三維空間內的線''L''，存在一個三條線為[[共面]]的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元[[對稱關係]]。

== 關係的性質 ==