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六进制
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{{Table Numeral Systems}} '''六进制'''是以[[6]]为[[底数 (进制)|底数]]的[[进位制]]。 == 整数 == 六进制使用从[[0]]到[[5]]的六个数字, 将[[6]]表示为“10”,将7表示为“11”,将8表示为“12”。至于冪数,100是十进制36,1000是十进制216,而10000是十进制1296。这是通常用于由六个组成的事物如[[骰子]]。 序列的进行如下。 {| class="wikitable" |+ '''0到30''' |- align="center" ! 六进制 | '''0''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || '''10''' || 11 || 12 || 13|| 14 || 15 || '''20''' || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || '''30''' |- align="center" ! 十进制 | 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9|| 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 |} {| class="wikitable" |+ '''31到100''' |- align="center" ! 六进制 | 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || '''40''' || 41 || 42 || 43|| 44 || 45 || '''50''' || 51 || 52 || 53 || 54 || 55 || '''100''' |- align="center" ! 十进制 | 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29|| 30 || 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || 36 |} {| class="wikitable" |+ '''230到300''' |- align="center" ! 六进制 | '''230''' || 231 || 232 || 233 || 234 || 235 || '''240''' || 241 || 242 || 243|| 244 || 245 || '''250''' || 251 || 252 || 253 || 254 || 255 || '''300''' |- align="center" ! 十进制 | 90 || 91 || 92 || 93 || 94 || 95 || 96 || 97 || 98 || 99 || 100 || 101 || 102 || 103 || 104 || 105 || 106 || 107 || 108 |} 在六进制系统中“5 +1 = 10”,因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此,以3的倍数计数并[[除以3]]变得非常容易。在计数方法中,“七”变为“六一”(11),“十二”变为“二六”(20),“十八”变为“三六”(30),“二十一”变为“三六三”(33),“二十七”变为“四六三”(43)。 100(十进制36)之后的如下。 * 121 (1×6<sup>2</sup> + 2×6<sup>1</sup> + 1) = 十进制49 * 144 (1×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 4) = 十进制64 * 213 (2×6<sup>2</sup> + 1×6<sup>1</sup> + 3) = 十进制81 * 244 (2×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 4) = 十进制100 * 300 (3×6<sup>2</sup>) = 十进制108 * 345 (3×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 5) = 十进制137 * 451 (4×6<sup>2</sup> + 5×6<sup>1</sup> + 1) = 十进制175 * 500 (5×6<sup>2</sup>) = 十进制180 * 1000 (1×6<sup>3</sup>) = 十进制216 * 1104 (1×6<sup>3</sup> + 1×6<sup>2</sup> + 0×6<sup>1</sup> + 4) = 十进制256 * 1405 (1×6<sup>3</sup> + 4×6<sup>2</sup> + 0×6<sup>1</sup> + 5) = 十进制365 * 2000 (2×6<sup>3</sup>) = 十进制432 * 2521 (2×6<sup>3</sup> + 5×6<sup>2</sup> + 2×6<sup>1</sup> + 1) = 十进制625 * 3213 (3×6<sup>3</sup> + 2×6<sup>2</sup> + 1×6<sup>1</sup> + 3) = 十进制729 * 4344 (4×6<sup>3</sup> + 3×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 4) = 十进制1000 * 5000 (5×6<sup>3</sup>) = 十进制1080 * 10000 (1×6<sup>4</sup>) = 十进制1296 * 13000 (1×6<sup>4</sup> + 3×6<sup>3</sup>) = 十进制1944 * 13132 (1×6<sup>4</sup> + 3×6<sup>3</sup> + 1×6<sup>2</sup> + 3×6<sup>1</sup> + 2) = 十进制2000 * 24000 (2×6<sup>4</sup> + 4×6<sup>3</sup>) = 十进制3456 * 35052 (3×6<sup>4</sup> + 5×6<sup>3</sup> + 0×6<sup>2</sup> + 5×6<sup>1</sup> + 2) = 十进制5000 * 40000 (4×6<sup>4</sup>) = 十进制5184 * 50213 (5×6<sup>4</sup> + 0×6<sup>3</sup> + 2×6<sup>2</sup> + 1×6<sup>1</sup> + 3) = 十进制6561 * 100000 (1×6<sup>5</sup>) = 十进制7776 * 101043 (1×6<sup>5</sup> + 0×6<sup>4</sup> + 1×6<sup>3</sup> + 0×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 3) = 十进制8019 * 114144 (1×6<sup>5</sup> + 1×6<sup>4</sup> + 4×6<sup>3</sup> + 1×6<sup>2</sup> + 4×6<sup>1</sup> + 4) = 十进制10000 * 120000 (1×6<sup>5</sup> + 2×6<sup>4</sup>) = 十进制10368 === 冪乗 === 在六进制中,由于[[2]]与[[3]]的指数相同,因此可以表示为 "10<sup>n</sup> = 2<sup>n</sup>×3<sup>n</sup>"。 [[六]]与[[十]]都是两个[[素数]]的乘积,十的3×n乗(14<sup>3×n</sup>)与六的4×n乗(10<sup>4×n</sup>)彼此接近。因此,以十进制法分隔三位数字(例如[[公制]])的系统将变为六进制法分隔四位数字。 {| class="wikitable" style="text-align:right" |+ '''六的冪''' |- align="center" ! 指数 || 六进制 || 十进制 |- | 1 || 10 || 6 |- | 2 || 100 || 36 |- | 3 || 1000 || 216 |- | 4 || 1 0000 || 1296 |- | 5 || 10 0000 || 7776 |- | 10 || 100 0000 || 4 6656 |- | 11 || 1000 0000 || 27 9936 |- | 12 || 1 0000 0000 || 167 9616 |- | 13 || 10 0000 0000 || 1007 7696 |- | 14 || 100 0000 0000 || 6046 6176 |- | 15 || 1000 0000 0000 || 3 6279 7056 |- | 20 || 1 0000 0000 0000 || 21 7678 2336 |- | 21 || 10 0000 0000 0000 || 130 6069 4016 |- | 22 || 100 0000 0000 0000 || 783 6416 4096 |- | 23 || 1000 0000 0000 0000 || 4701 8498 4576 |- | 24 || 1 0000 0000 0000 0000 || 2 8211 0990 7456 |- | 25 || 10 0000 0000 0000 0000 || 16 9266 5944 4736 |- | 30 || 100 0000 0000 0000 0000 || 101 5599 5666 8416 |} {| class="wikitable" |+ '''冪数表''' |- align="center" ! 指数 ! 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 20 |- align="center" ! 2 | 2 || 4 || 12 || 24 || 52 || 144 || 332 || 1104 || 2212 || 4424 || 13252 || 30544 |- align="center" ! 3 | 3 || 13 || 43 || 213 || 1043 || 3213 || 14043 || 50213 || 231043 || 1133213 || 3444043 || 15220213 |- align="center" ! 5 | 5 || 41 || 325 || 2521 || 22245 || 200201 || 1401405 || 12212241 || 105510125 || 545151121 || 4502320045 || 40120440401 |} === 素数 === ;六进制的测定倍数 * 如果第一位是0,则该数字“可以被2和3整除”的数字,即10(六)的倍数。 * 如果第一位是3,则该数字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的数字。 * 如果第一位是2或4,则该数字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的数字。 * 如果第一位是1或5,则该数字“不能除以2或3整除”的数字。11(七)之后的素数首先是1或5。 六进制对于研究[[素数]]是很有用的,因为所有的素数,除了2和3以外,个位数都是1或5。在六进制中,最初的几个素数为: :<math>2_6,3_6,5_6,11_6,15_6,21_6,25_6,31_6,35_6,45_6,51_6,</math> :<math>101_6,105_6,111_6,115_6,125_6,\ldots</math> 也就是说,对于所有除了2和3以外的素数<math>p</math>都有<math>p\mod 6 = 1</math>或<math>p\mod 6 = 5</math>。另外,除了6以外,所有的[[完全数]]在六进制中都以44结尾。 == 分数 == 因为6是最小的两个素数2和3的[[乘积]],许多六进制的小数都有简单的表示法: {| border="2" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center" |十进制 |<math>\tfrac{1}{2}</math> |<math>\tfrac{1}{3}</math> |<math>\tfrac{1}{4}</math> |<math>\tfrac{1}{5}</math> |<math>\tfrac{1}{6}</math> |<math>\tfrac{1}{7}</math> |<math>\tfrac{1}{8}</math> |<math>\tfrac{1}{9}</math> |<math>\tfrac{1}{10}</math> |<math>\tfrac{1}{11}</math> |<math>\tfrac{1}{12}</math> |<math>\tfrac{1}{14}</math> |<math>\tfrac{1}{15}</math> |<math>\tfrac{1}{16}</math> |<math>\tfrac{1}{18}</math> |<math>\tfrac{1}{20}</math> |- |六进制 |<math>\tfrac{1}{2}</math> |<math>\tfrac{1}{3}</math> |<math>\tfrac{1}{4}</math> |<math>\tfrac{1}{5}</math> |<math>\tfrac{1}{10}</math> |<math>\tfrac{1}{11}</math> |<math>\tfrac{1}{12}</math> |<math>\tfrac{1}{13}</math> |<math>\tfrac{1}{14}</math> |<math>\tfrac{1}{15}</math> |<math>\tfrac{1}{20}</math> |<math>\tfrac{1}{22}</math> |<math>\tfrac{1}{23}</math> |<math>\tfrac{1}{24}</math> |<math>\tfrac{1}{30}</math> |<math>\tfrac{1}{32}</math> |- |六进制(小数) |0.3 |0.2 |0.13 |0.{{overline|1}} |0.1 |0.{{overline|05}} |0.043 |0.04 |0.0{{overline|3}} |0.{{overline|313452421}} |0.03 |0.0{{overline|23}} |0.0{{overline|2}} |0.0213 |0.02 |0.01{{overline|4}} |- |} 六进制为2和3的同样的冪,因此很容易将它们分为2和3个除法。 [[2的冪]]的[[倒数]]变为3的冪,而[[3的冪]]的倒数变为2的冪。因而对于大多分母是3的幂的分数,六进制的表示形式更简短。 {| border="2" cellspacing="0" cellpadding="5" align="center" |冪指数 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -10 | -11 | -12 | -13 | -14 |- |2 |0.3 |0.13 |0.043 |0.0213 |0.01043 |0.003213 |0.0014043 |0.00050213 |0.000231043 |0.0001133213 |- |3 |0.2 |0.04 |0.012 |0.0024 |0.00052 |0.000144 |0.0000332 |0.00001104 |0.000002212 |0.0000004424 |- |} == 指数法 == {{Multiple image | width = 120 | image1 = Chinesische.Zahl.Vier.jpg | alt1 = 4 | image2 = Chinesische.Zahl.Drei.jpg | alt2 = 3 | footer = 六进制43 = 十进制27 }} 如果拳头0,因为六种类型从0到5的数目可以在一个手来表示,六进制是方便用[[手指计数]]。 在这种方法中,一只手位于一的位,另一只手位于六的位, 计数到55(五六五 = 十进制35),100(十进制36)会导致数字溢出。例如,左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”(六进制15 =十进制11), 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”(六进制43 =十进制27)。 可以表示[[小数]]和[[假分数]],如果一只手在"一"的位,另一只手在"六分之一"的位,则可以计算不超过5.5(5和5/6)的分数。 两位数的小数字的一只手放在"六分之一"的位,另一只手放在"[[36|三十六]]分之一"的位。例如,如果指示“'''44'''”,则除了“六进制44 = 十进制28”之外,还可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六进制'''4.4''') 和“7/9”(十进制28/36 = 六进制'''0.44''')。 用双手进行计数的十进制不能在15(十进制11)之后进行计数,并且可以分为2和5,但是不能分为3和4。但是,用双手计数的六进制最多可以计数55(十进制35),并且可以分为2和3,如果扩展为双手,则可以分为4和9(六进制13)。 == 外部链接 == * [http://www.mathsisfun.com/numbers/convert-base.php?to=senary 六进制转换] {{pns}} [[Category:进位制| 6]]
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