添加的内容 删除的内容
小 (撤销繁简转换) 标签:回退 |
小 (replaced: 內 → 内 (9), 開 → 开, 學 → 学 (57), 會 → 会 (23), 長 → 长, 與 → 与 (4), 間 → 间 (6), 處 → 处, 導 → 导 (17), 語 → 语 (18), 馮 → 冯, 恆 → 恒 (2), 主義 → 主义 (5), 雙 → 双 (3), 無 → 无 (7), 盡 → 尽, 構 → 构 (16), 彈 → 弹, 關 → 关 (8), 歐 → 欧 (7), 將 → 将 (6), 領 → 领 (4), 張 → 张 (2), 調 → 调, 應 → 应 (9), 嚴 → 严 (2), 廣 → 广 (3), 來 → 来 (30), 義 → 义 (8), 對 → 对 (24), 爾 → 尔 (18), 發 → 发 (12), 門 → 门, 極 → 极 (5), 樣 → 样, 傳 → 传 (8), 詞 → 词 (5), 號 → 号 (3), 體 → 体 (11), 類 → 类 (5), 羅 → 罗 (10), 帶 → 带 (2), 圖 → 图 (2), 線 → 线 (13), 簡 → 简 (3), 稱 → 称 (11), 區 →…) 标签:手工回退 |
||
第1行: | 第1行: | ||
在 |
在传统[[邏辑]]中,'''公理'''是沒有经过证明,但被当作不证自明的一个命题。因此,其真实性被视为是理所当然的,且被当做演繹及推论其他(理论相关)事实的起点。当不断要求证明时,因果关系毕竟不能无限地追溯,而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单,且符合直觉,如“a+b=b+a”。 |
||
不同的系 |
不同的系统,会預计不同的公理。例如[[非欧几何]]的公理,和[[欧氏几何]]的公理就有一点不同;另外,集合论的[[选择公理]]在许多系统的建构中,也富有争议。有些系统坚持不預设选择公理。也有一些数学家在建构系统时,刻意排除掉[[皮亚诺公理]]中的[[数学归纳法]],以确保所有的证明,都可以直接演算。 |
||
在[[ |
在[[数学]]中,'''公理'''这一词被用于两种相关但相异的意思之下——[[#邏辑公理|邏辑公理]]和[[#非邏辑公理|非邏辑公理]]。在这两种意义之下,公理都是用来推导其他命题的起点。和[[定理]]不同,一个公理(除非有冗餘的)不能被其他公理推导出来,否则它就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以乾脆被归为[[定理]]了。 |
||
邏 |
邏辑公理通常是被视为普遍为真的陈述(如 (A ∧ B) → A),而非邏辑公理(如''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'')则实际上是在一特定数学理论(如[[算术]])中的定义性的性质。在后者的意思之下,公理又可被称为“公设”<ref>{{Cite web|url=http://www.jianshu.com/p/6051bcfb7971|title=台湾国立清华大学微积分—高淑蓉|accessdate=2016-08-07|author=高淑蓉|date=2015-04-12|pages=|language=zh|doi=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200926064018/https://www.jianshu.com/p/6051bcfb7971|archivedate=2020-09-26|quote=|dead-url=no}}</ref>。一般而言,非邏辑公理并不是一个不证自明的事实,而应该说是在建构一个数学理论的过程中被用来推导的一个形式邏辑表示式。要公理化一个知识系统,就是要去证明该系统的主张都可以由数目不多而又可明确理解的陈述(公理)推导出来。一般来说都有多种方法来公理化一个給定的数学领域。 |
||
然而,邏 |
然而,邏辑公理系统也并非唯一。[[直觉主义邏辑]]、[[模糊邏辑]]等新的邏辑结构,都建立在略有差异的公理上。因此,与其把公理看作不证自明的事实,不如看作是在一个特定的数学或邏辑系统中,先于一切[[数学证明|证明]]的[[前设]]。 |
||
== |
== 历史发展 == |
||
=== 古希 |
=== 古希腊 === |
||
经由可靠的论证([[三段论]]、推理规则)由前提(原有的知识)导至结论(新的知识)的邏辑演繹方法,是由古希腊人发展出来的,并已成为了现代数学的核心原则。除了[[恒真式|重言式]]之外,沒有任何事物可被推导,若沒有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演繹知识的基本假设。公理不证自明,而所有其他的断言(若谈论的是数学,则为[[定理]])则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而,对数学知识的解释从古至今已不太一样,且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在[[亚里斯多德]]和[[欧几里得]]眼中的意思也有了些许的不同。 |
|||
古希 |
古希腊人认为[[几何学]]也是数种[[科学]]的其中之一,且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用邏辑演繹方法来作为避免錯误的方法,并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的[[后分析篇]]是对此传统观点的一決定性的闡述。 |
||
“公理”,以传统的术语来说,是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。 |
|||
在各 |
在各种科学领域的基础中,或许会有某些未经证明而被接受的附加假定,此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的,而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实,亚里斯多德曾言,若读者怀疑公设的真实性,这门科学之内容便无法成功传递。 |
||
传统的做法在《[[几何原本]]》中很好地描绘了出来,其中給定一些公设(从人们的经验中总结出的几何常识事实),以及一些“公理”(极基本、不证自明的断言)。 |
|||
:;公 |
:;公设 |
||
:# 能 |
:# 能从任一点画一条[[直线]]到另外任一点上去。 |
||
:# 能在一 |
:# 能在一条直线上造出一条连续的[[有限]]长线段。 |
||
:# 能以 |
:# 能以圆心和半径来描述一个[[圆]]。 |
||
:# 每 |
:# 每个[[直角]]都会相互等值。 |
||
:# ([[平行公 |
:# ([[平行公设]])若一条[[直线]]与两条直线相交,在某一侧的[[多边形|内角和]]小于两个直角,那么这两条直线在各自不断地延伸后,会在内角和小于两直角的一侧[[相交]]。 |
||
:;公理 |
:;公理 |
||
:# 等同 |
:# 等同于相同事物的事物会相互等同 |
||
:# 若等同物加上等同物, |
:# 若等同物加上等同物,则整体会相等。 |
||
:# 若等同物減去等同物, |
:# 若等同物減去等同物,则其差会相等。 |
||
:# 相互重合的事物 |
:# 相互重合的事物会相互等同。 |
||
:# 整 |
:# 整体大于部分。 |
||
=== 近代的 |
=== 近代的发展 === |
||
近150年 |
近150年来,数学家所学到的是,将意思从数学陈述('''公理'''、[[公设]]、[[命题邏辑|命题]]、[[定理]])和[[定义]]中抽离出去是很有用的。此一[[抽象化]](或甚至可说是公式化)使得数学知识变得更一般化,容许多重不同的意思,且因此可以用在多重的方面上。 |
||
结构主义的数学走得更远,并发展出沒有“任一”特定应用的理论和公理(如[[域 (数学)|体论]]、[[群|群论]]、[[拓撲空间|拓撲学]]、[[向量空间]])。“公理”和“公设”之间的差异消失了。欧几里得公设因为可以导出大量的几何事实而被创造出来。这些复杂事实的真实性依赖于对基本假定的承认。然而,若舍弃第五公设,则可以得到有更多内容的理论,如[[双曲几何]]。我们只需要準备以更弹性的方式来使用“线”和“平行”等术语。双曲几何的发展教导了数学家们公设应该被视为单纯的形式陈述,而不是基于经验的事实。 |
|||
当数学家使用[[域 (数学)|体]]的公理时,其含义甚至变得更加地抽象了。体论的命题沒有关注于任一特定的应用上;数学家现在于完全的抽象化上工作著。体有许多的例子;而体论可以給出对所有这些例子适用的正确知识。 |
|||
说体论的公理是“被视为不证自明的命题”是不正确的。实际上,体的公理是一套侷限。若任一給定的加法与乘法系统符合此些侷限,则我们对此系统立即可以得到许多額外的资讯。 |
|||
现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化,从而使得数学理论可以被视为数学物件,且[[邏辑]]本身亦能被视为是数学的一个分支。[[戈特洛布·弗雷格]]、[[伯特兰·罗素]]、[[龐加莱]]、[[大卫·希尔伯特]]和[[库尔特·哥德尔]]是此发展中的几位关鍵角色。 |
|||
在 |
在现今的理解里,一套公理是任何[[类 (数学)|一群]]形式陈述的断言,而透过应用某些定义良好的规则,可由这些公理推导出其他形式陈述的断言。在此观点下,邏辑只是变成了另一个形式系统。一套公理应该是[[相容性|相容]]的,即应该不可能由此公理中导出矛盾来。一套公理亦应该是非冗餘的,即一个可以由其他公理导出的断言不应被视为是一个公理。 |
||
近代的邏 |
近代的邏辑学家最初希望数学的不同分支,最好是所有的数学,都可以被一套相容的基本公理中推导出来。数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对[[欧几里得几何]]的公理化,以及相关地,对此些公理相容性的确定。 |
||
在更 |
在更广的方面来看,还有人企图将所有数学放在[[格奥尔格·康托尔|康托尔]]的[[集合论]]之下。不过,[[罗素悖论]]的出现和[[樸素集合论]]中相似的矛盾,指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。 |
||
此 |
此计划遭受到的決定性挫败是在1931年,哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蘊涵[[皮亚诺公理]],就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述。作为一个[[推论]],哥德尔证明出一个如[[皮亚诺算术]]的理论,其相容性在理论本身之内会是一个不可证的断言。 |
||
相信皮 |
相信皮亚诺算术的相容性是合理的,因为它被[[自然数]]的系统所满足-一个[[无限]]但在直觉上易被接受的形式系统。然而,直到现在,依然沒有已知的方法判定集合论中[[策梅罗-弗兰克尔集合论|策梅罗-弗兰克尔公理]]的相容性。[[选择公理]]-此理论的关鍵假定,也依然是一个极具争议的假设。更甚之,利用[[力迫法]]的技巧,可以证明[[连续统假设]]独立于策梅罗-弗兰克尔公理之外。因此,即使是这种极一般的公理也还不能被视为是数学的決定性基础。 |
||
== |
== 数理邏辑 == |
||
在[[ |
在[[数理邏辑]]里,公理可以清楚地被区别成两种:'''邏辑公理'''和'''非邏辑公理'''(有些类似传统上对“公理”和“公设”的区别)。 |
||
=== 邏 |
=== 邏辑公理 === |
||
在一 |
在一个语言中存在著某些普遍有效的公式,亦即被每个[[赋值|变数赋值函数]]的每个结构所满足的公式。口语上来说,是存在著在任一可能的论域、可能的[[解释 (邏辑)|解释]]和赋值上都是“正确”的陈述。通常将邏辑公理视为能充分证明所有此语言中[[恒真式|重言式]]的一套“最小”的重言式;在[[谓词邏辑]]中有更多的邏辑公理是需要的,为了证明那些在严格意义上不是重言式的邏辑事实。 |
||
==== 例子 ==== |
==== 例子 ==== |
||
===== 命 |
===== 命题邏辑 ===== |
||
在[[命 |
在[[命题邏辑]]里,一般将邏辑公理视为所有如下形式的公式,其中的<math>\phi</math>、<math>\psi</math>和<math>\chi</math>可以是语言中的任何公式,且包含的[[邏辑运算符]]只有[[邏辑非]]<math>\neg</math>和[[蘊涵]]<math>\to</math>两种: |
||
# <math>\phi \to (\psi \to \phi)</math> |
# <math>\phi \to (\psi \to \phi)</math> |
||
第74行: | 第74行: | ||
# <math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)</math>。 |
# <math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)</math>。 |
||
上面的每 |
上面的每个形式都是一个“[[公理模式]]”,是用来产生无限多公理的规则。例如,若''A''、''B''和''C''是[[命题变数]],则<math>A \to (B \to A)</math>和<math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math>都会是公理模式1.的例子,因此都会是公理。可以证明只要有这三个公理模式和“[[肯定前件]]”,即可证明出所有命题演算中的重言式。也可证明只以其中的一对模式是无法和“肯定前件”一起充分证明出所有的重言式的。 |
||
其他包含著相同或不同邏 |
其他包含著相同或不同邏辑运算符的公理模式也可以另行建构出来。 |
||
这些公理模式也被使用于[[谓词邏辑]]里,但需要附加上其他邏辑公理,藉以讨论包含了量词的命题。 |
|||
===== 一 |
===== 一阶邏辑 ===== |
||
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
||
'''等 |
'''等于公理''' 令<math>\mathfrak{L}\,</math>为[[一阶语言]]。对每个变数<math>x\,</math>而言,公式 |
||
<center> |
<center> |
||
第91行: | 第91行: | ||
</div> |
</div> |
||
这表示,对于任一变数<math>x\,</math>,公式<math>x = x\,</math>可被视为是一个公理。而且,在这例子里,为了不落入含糊不清及一连串永不终止的“原始概念”之中,要不就是将<math>x = x\,</math>的精确概念給先建立完全,要不就是得规范符号<math>=\,</math>纯形式及语法的用法,只视之为一个字串,且只是由符号组成的字串。[[数理邏辑]]确实就是这么做的。 |
|||
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
||
'''全 |
'''全称例化公理模式''' 給定一在一阶语言<math>\mathfrak{L}\,</math>中的公式<math>\phi\,</math>、一变数<math>x\,</math>和一[[一阶逻辑#形成规则|项]]<math>t\,</math>,公式 |
||
<center> |
<center> |
||
第104行: | 第104行: | ||
</div> |
</div> |
||
其中<math>\phi^x_t</math>代表以 |
其中<math>\phi^x_t</math>代表以项<math>t\,</math>来[[一阶逻辑#代换|代换]]<math>\phi\,</math>中的<math>x\,</math>后所得到的公式。较不严谨地,这个例子允许我们如此陈述,若知道一特定性质<math>P\,</math>对每个<math>x\,</math>皆成立,且<math>t\,</math>代表著此结构内的一特定物件,则应可主张<math>P(t)\,</math>是对的。 |
||
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
<div style="border:1px solid #ccc; padding-left:5px;"> |
||
'''存在推 |
'''存在推广公理模式''' 給定一在一阶语言<math>\mathfrak{L}\,</math>中的公式<math>\phi\,</math>、一变数<math>x\,</math>和一项<math>t\,</math>,公式 |
||
<center> |
<center> |
||
第116行: | 第116行: | ||
</div> |
</div> |
||
=== 非邏 |
=== 非邏辑公理 === |
||
'''非邏 |
'''非邏辑公理'''是在特定理论中充当基本假设的一种公式。两个不同的结构如[[自然数]]和[[整数]]的推理可能涉及相同的邏辑公理;非邏辑公理则试图汲取对特定结构(或一套结构,如[[群]])来讲是特殊的地方。因此,非邏辑公理,不像邏辑公理,并不是“重言式”。非邏辑公理的别称为“公设”。 |
||
几乎每个现今的数学定律都是起始于一套給定的非邏辑公理,且曾被认为在原则上,每个理论都可以如此公理化,并且公式化成纯粹邏辑公式的语言。但这已被证明是不可能的了;然而,最近此一做法又以[[邏辑主义|新邏辑主义]]的形式复活了起来。 |
|||
非邏 |
非邏辑公理通常在数学论述中被简称为“公理”。这并不表示它们在某种绝对的意思上是正确的。例如,在一些[[群]]里,群运算是[[交换律|可交换]]的,且这可以在加入加法公理下断言,但去掉此公理就可以很好地发展(更一般化的)群论,且甚至可以拿此公理的否定来做非可换群的研究。 |
||
因此,'''公理'''和定 |
因此,'''公理'''和定义了'''[[演繹系统]]'''的[[推理规则]]一起构成了形式邏辑系统的基础。 |
||
==== 例子 ==== |
==== 例子 ==== |
||
此 |
此节会給出一些完全由一套非邏辑公理(或简称公理)发展出来的数学定律。任何对此些题目的严謹处理都起始于对公理的詳述。 |
||
基本理 |
基本理论如[[算术]]、[[实分析]]和[[复变分析]]通常都是由非公理化的方式开始介紹,但通常直接或间接地都会使用到具选择公理的[[策梅罗-弗兰克尔集合论]](ZFC)的公理,或是一些极相似的[[公理化集合论]],例如[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|NBG]]。后者是ZFC集合论的[[保守扩展]],在集合方面与ZFC具有相同的定理,因此两者有緊密的联系。有时,稍强的理论如[[摩斯-凯利集合论|MK]],或带有允许使用[[格罗滕迪克全集]]的[[不可达基数|强不可达基数]]的集合论也会被使用,但实际上,大多数数学家都可以在弱于ZFC的系统中确实地证明他们所需要的命题,比如在[[二阶算术]]中就可能做到这点。 |
||
在 |
在数学中,拓撲学的研究扩展成[[点集拓撲]]、[[代数拓撲]]、[[微分拓撲]],和所有相关领域,如[[同调论]]和[[同伦论]]。“抽象代数”也发展出[[群论]]、[[环 (代数)|环]]、[[域 (数学)|体]]和[[伽罗瓦理论]]。 |
||
此列表可以 |
此列表可以扩展至包含大多数的数学领域,如[[公理化集合论]]、[[测度论]]、[[遍历理论]]、[[机率论]]、[[表示理论]]和[[微分几何]]等。 |
||
===== 算 |
===== 算术 ===== |
||
[[皮 |
[[皮亚诺公理]]是[[一阶算术]]最广被使用的“公理化”。这套公理的强度足以证明许多[[数论]]中重要事实,以及允许哥德尔建立他著名的[[哥德尔不完备定理]]。 |
||
设有一语言<math>\mathfrak{L}_{NT} = \{0, S\}\,</math>,其中,<math>0\,</math>是一个常数符号且<math>S\,</math>是一个[[一元函数]]且满足如下公理: |
|||
# <math>\forall x. \lnot (Sx = 0) </math> |
# <math>\forall x. \lnot (Sx = 0) </math> |
||
# <math>\forall x. \forall y. (Sx = Sy \to x = y) </math> |
# <math>\forall x. \forall y. (Sx = Sy \to x = y) </math> |
||
# <math>((\phi(0) \land \forall x.\,(\phi(x) \to \phi(Sx))) \to \forall x.\phi(x)</math>, |
# <math>((\phi(0) \land \forall x.\,(\phi(x) \to \phi(Sx))) \to \forall x.\phi(x)</math>,对任一<math>\mathfrak{L}_{NT}\,</math>中有一自由变数的公式<math>\phi\,</math>而言。 |
||
其 |
其标準结构为<math>\mathfrak{N} = \langle\N, 0, S\rangle\,</math>,其中<math>\N\,</math>为自然数的集合、<math>S\,</math>为[[原始递归函数|后继函数]],且<math>0\,</math>自然被解释为数0。 |
||
===== |
===== 欧几里得几何 ===== |
||
[[平面 |
[[平面几何]]中的4+1个公设大概是最古老且最有名的一组公理。这些公理被称为“4+1”,因为近两千年来,[[平行公设|第五公设]](“通过一直线外一点恰好存在一平行线”)一直被怀疑可以从前4个公理中导出。但最后,第五公设还是被证实是独立于前4个公理。确实,可以假设通过一直线外一点会沒有平行线、恰好有一平行线,或有着无限多条平行线存在。这些选择給出了不同形式的几何,其[[三角形]]的内角和会分别为小于、等于或大于180度。这几种几何分别被称为[[橢圆几何]]、[[欧几里得几何]]和[[双曲几何]]。 |
||
===== |
===== 实分析 ===== |
||
其研究的 |
其研究的对象为[[实数]]。实数可唯一由一“戴德金完备有序体”(即带有上界的非空实数集合必然有最小上界)所決定(在[[同构]]意义上)。然而,若要表达这些公理的性质,需要使用到[[二阶邏辑]]。[[勒文海姆-斯科伦定理]]告诉我们若侷限于[[一阶邏辑]]里来描述,任何实数的公理系统都会允许有其他的模型,有些会小于实数,有些则会大于实数。后者有些被研究于[[非标準分析]]中。 |
||
=== 在 |
=== 在数理邏辑中的角色 === |
||
==== 演繹系 |
==== 演繹系统和一致性 ==== |
||
一致性的要求是最重要的。如果一公理系 |
一致性的要求是最重要的。如果一公理系统,不会同时推导到命题“p”和“非p”,那么它就称为一致的系统。 |
||
不一致的系 |
不一致的系统,会同时推导出“p”和“非p”的矛盾结果,在数学推论上,是不能容许的。 |
||
==== 演繹系 |
==== 演繹系统和完备性 ==== |
||
'''演繹系 |
'''演繹系统'''包括有邏辑公理的集合<math>\Lambda\,</math>、非邏辑公理的集合<math>\Sigma\,</math>和“推理规则”的集合<math>\{(\Gamma, \phi)\}\,</math>。演繹系统的一个理想的性质为'''完备性'''。 |
||
一 |
一个系统被称为是完备的,若对所有公式<math>\phi</math>, |
||
:若<math>\Sigma \models \phi</math>, |
:若<math>\Sigma \models \phi</math>,则<math>\Sigma \vdash \phi</math> |
||
亦即, |
亦即,对任一为<math>\Sigma\,</math>“邏辑结果”的陈述,皆存在一个从<math>\Sigma\,</math>的陈述出发的“演繹”。这有时被表达为“所有真的陈述都是可证的”,但必须了解这里的“真”意指“公理集合致使其为真”,而不是“在某一特定解释下为真”。[[哥德尔完备性定理]]表明了某个常用类别的演繹系统的完备性。 |
||
注意 |
注意“完备性”在[[哥德尔不完备定理]]中会有着不同的意思,其表示在算术理论中沒有一套“递归”且“一致”的非邏辑公理<math>\Sigma\,</math>会是“完备”的,亦即总是存在一个算术陈述<math>\phi\,</math>,其<math>\phi\,</math>和<math>\lnot\phi\,</math>都不能由給定的公理中证出。 |
||
这里,一边是指“演繹系统的完备性”,一边则是指“一套非邏辑公理的完备性”。因此,完备性定理和不完备性定理,除了其名称之外,并不相互衝突。 |
|||
=== 更多的探 |
=== 更多的探讨 === |
||
早期的[[ |
早期的[[数学家]]视公理化几何为[[空间|物理空间]]的模型,且明显地只能有此一模型。另一种数学系统可能存在的想法,对19世纪的数学家而言是极度困扰的,并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来。[[埃瓦里斯特·伽罗瓦|伽罗瓦]]证明这些努力大多都是白费的。最后,这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性,而[[抽象代数|现代代数]]也由此诞生了。以现在的观点来看,任意的公式集合都可以作为公理,只要这些公式并未被发现为不一致的便可。 |
||
== 参考文献 == |
== 参考文献 == |
||
第194行: | 第194行: | ||
== 参见 == |
== 参见 == |
||
* 公理(英 |
* 公理(英语:axiom) |
||
* [[定理]](英 |
* [[定理]](英语:theorem) |
||
* [[引理]](英 |
* [[引理]](英语:lemma) |
||
* [[命 |
* [[命题]](英语:proposition) |
||
* [[推 |
* [[推论]](英语:corollary) |
||
* [[假 |
* [[假说]](英语:hypothesis) |
||
* [[欧几里得几何]] |
* [[欧几里得几何]] |
||
* [[公理系统]] |
* [[公理系统]] |
||
* [[公理化集合论]] |
* [[公理化集合论]] |
||
* [[皮亚诺公理]] |
* [[皮亚诺公理]] |
||
* [[形式主义# |
* [[形式主义#数学|数学形式主义]] |
||
{{-}} |
{{-}} |
||
第210行: | 第210行: | ||
[[Category:公理| ]] |
[[Category:公理| ]] |
||
[[Category: |
[[Category:数理邏辑|G]] |
||
[[Category:知 |
[[Category:知识论]] |
||
[[Category:古希腊形而上学概念]] |
[[Category:古希腊形而上学概念]] |