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{{NoteTA |G1 = Math }} '''代数拓扑'''({{Lang-en|Algebraic topology}})是使用[[抽象代数]]的工具来研究[[拓扑空间]]的[[数学]]分支。 == 代数拓扑的主要分支 == 代数拓扑的几个主要分支如下: === 同伦群 === {{Main|同伦群}} 在数学中,同伦群是一个用于分类[[拓扑空间]]。[[基本群]]是同伦群最简单的例子,记录了空间中环结的信息。直观上来说,同伦群记录了拓扑空间中的基本形状,即“孔洞”的信息。 === 同调 === {{Main|同调}} 在代数拓扑和[[抽象代数]]中,'''同调'''(homology,名称部分来源于[[希腊语]]ὁμός ''homos'' = "同")是一类将一个[[阿贝尔群]]或[[模]]的[[序列]]联系到一个给定数学对象(如拓扑空间、群等)的过程<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref> === 上同调 === {{Main|上同调}} 在[[同调论]]中,'''上同调'''是对一个在[[链复形|上链复形]](co-chain)上定义一个[[阿贝尔群]]的[[序列]]的过程的统称。换言之,上同调是对“上链”、余圈(cocycle)和上边缘(coboundary)的抽象研究。上同调可以看作是一种对拓扑空间赋予[[不變量理論|代数不变量]]的方法,但其[[代数结构]]比[[同调]]更为精炼。上同调源于同调的构造过程的代数对偶。通俗意义上讲,上链的基本意义是为同调的链赋予某种“量”。 === 流形 === {{Main|流形}} '''流形'''是局部上近似于[[欧几里得空间]]的[[拓扑空间]]。更精确的说,''n''-流形上的每一点都有一个[[同胚]]于''n''维欧式空间的[[邻域]]。举例来说,[[直线]]和[[圆]]都是一维流形,但数字''8''则不是。二维流形也称作[[曲面]]。二维流形的例子有[[平面 (数学)|平面]]、[[球面]]和[[环面]]等可看作三维空间中的物体的对象,但也包括[[克莱因瓶]]和[[实射影平面]]等不可看作三维空间里的物体,而必须看作四维空间里的物体的对象。 === 纽结理论 === {{Main|紐結理論}} ''纽结理论''是对(数学意义上的)纽结的研究。虽然纽结的概念是受现实生活中的绳结启发,对数学家而言“绳结”的两端是粘连在一起的,因而不能解开。在数学上,纽结的精确定义为[[圆]]在三维[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>3</sup>的[[嵌入]]。若一个纽结能由另一个纽结通过对'''R'''<sup>3</sup>变形而得到(亦称环境同痕),我们就将其视为同一个纽结。这样的对环境的变换相当于对一个线圈进行连续操作,但避免剪开线圈或使线圈穿过自身。 === 复形 === {{Main|单纯复形|CW复形}} '''单纯复形'''是[[拓扑空间]]的一类,由[[点]]、[[线段]]、[[三角形]]等[[单纯形]]“粘合”而成。单纯复形不应当与[[范畴 (数学)|范畴]][[同伦论]]中的[[单纯集合]]混淆。单纯形在组合学中对应于[[抽象单纯形]]。 '''CW复形'''是一种[[拓扑空间]],由[[J.H.C.怀特海德]]为迎合[[同伦论]]的需要而引入。这类空间比[[单纯形]]有更良好的[[范畴 (数学)|范畴学]]性质,且仍旧保留其组合学的本质,因此计算方面的考虑没有被忽略。 == 代数不变量方法 == 这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是[[组合拓扑]],蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过[[函子]],把空间映射到相应的代数[[范畴]]上。例如,通过一种保持空间的[[同胚]]关系的方式映射到[[群]]上。 实现这个目标的主要方法是通过[[基本群]],或者更一般的[[同伦论]],和[[同调]]及[[上同调]]群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息,但它们经常是[[交换群|非交换]]的,可能很难使用。(有限)[[单纯复形]]的基本群的确有有限[[群表示|表示]]。 另一方面来讲,[[同调]]和[[上同调]]群是[[交换群]],并且在许多重要情形下是有限生成的。[[有限生成交换群]]有完整的分类,并且特别易于使用。 == 同调的结果 == 通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的''n''-阶同调群的自由阶等于''n''-阶[[贝蒂数]](Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的[[欧拉示性数|歐拉示性數]]。作为另外一个例子,闭[[流形]]的最高维的积分上同调群可以探测[[可定向性]]:该群同构于整数或者0,分别在流形可定向和不可定向时。这样,很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。 在只定义在单纯复形的单纯同调之上,还可以使用[[光滑流形]]的微分结构来通过[[德拉姆上同调]]或Čech上同调或[[层上同调]]来研究定义在流形上的[[微分方程]]的可解性。[[德拉姆]]证明所有这些方法是相互关联的,并且对于闭可定向流形,通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。 == 在范畴论中 == 一般来讲,所有代数几何的构造都是[[范畴论|函子式]]的:概念[[范畴]],[[函子]]和[[自然變換|自然变换]]起源于此。基本群,同调和上同调群不仅是两个拓扑空间[[同胚]]时的'''不变量''';而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态,而这些同态可以用于证明映射的不存在性(或者,更深入的,存在性)。 == 代数拓扑的问题 == 代数拓扑的经典应用包括: * [[布劳威尔不动点定理]]:每个从''n''维圆盘到自身的[[连续函数|连续]]映射存在一个不动点。 * ''n''维球面可以有一个无处为0的连续单位[[向量場|向量场]]当且仅当''n''是奇数。(对于''n''=2,这有时被称为"毛球定理"。) * [[博苏克-乌拉姆定理]]:任何从''n''维球面到欧氏''n''维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。 * 任何[[自由群]]的子群是自由的。这个结果很有意思,因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说,任何自由群''G''可以实现为[[图 (数学)|图]]''X''的基本群。[[覆盖空间]]的主定理告诉我们每个''G''的子群''H''是某个''X''的覆盖空间''Y''的基本群;但是每个这样的''Y''又是一个图。所以其基本群''H''是自由的。 代数拓扑中最著名的问题之一是[[庞加莱猜想]],它已经由俄国数学家[[格里戈里·佩雷尔曼]]于2003年解决。[[同伦论]]领域包含了很多悬疑,如表述[[球面的同伦群]]的正确方式等。 == 参看 == * [[数学著作#代数拓扑|代数拓扑重要著作]] == 参考 == {{reflist}} * [[Allen Hatcher]], ''Algebraic Topology'' ,剑桥大学出版社,剑桥,2002年。ISBN 0-521-79540-0.现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载,网址[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html 作者的主页]。 * C. R. F. Maunder, ''Algebraic Topology''(1970)Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346. [[Category:代数拓扑| ]] [[Category:拓扑学|D]] [[Category:抽象代数|D]]
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