本質奇點

函數exp(1/z)的函數圖形，在z=0處具有本質奇點，不同的顏色表示輻角值，而亮度則表示絕對值。圖像中顯示出函數在本質奇點附近從不同方向逼近奇點時的行為。與極點附近全白不同，本質奇點附近是半黑半白的。

在複分析中，一個函數的本質奇點（Essential Singularity）又稱本性奇點，是奇點中的「嚴謹」的一類。函數在本質奇點附近會有「極端」的行為。

粗略來說，對複平面 C 上的給定的開子集 U，以及 U 中的一點 $a$，亞純函數 f : U\{a} → C 在 $a$ 處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點。

例如，函數 $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$在 $z=0$ 處有一個本質奇點。

嚴格地說，點 $a$ 是 $f$ 的本質奇點當且僅當 $f$ 在 $a$ 處的極限 $\lim_{z \to a}f(z)$ 不存在（既不是一個複數，也不是無窮大）。這種情況會發生當且僅當 $f$ 在 $a$ 附近的每一個鄰域中都有極點，或者 $f$ 在 $a$ 處的洛朗展開中含有無窮多個負指數項（即其主值是無窮級數）。

亞純函數在本質奇點附近的行為可以用魏爾斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更為強大的皮卡定理描述。皮卡定理說明：在 $f$ 的本質奇點 $a$ 附近的每一個鄰域中都會取遍全體複數（或者除了一個值之外）。

參見

• 整函數
• 劉維爾定理
• 極點
• 零點

參考來源

• Mathworld中的文章. [18 February 2008]. 
• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4

外部連結

• 斯蒂芬·沃爾夫勒姆的 本質奇點
• Planet Math中的資料