規矩數：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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'''规矩数'''（又称'''可造数'''）是指可用[[尺规作图]]方式作出的[[实数]]。在給定[[单位长度]]的情形下，若可以用尺规作图的方式作出长度为<math>a</math>的线段，则<math>a</math>就是规矩数。规矩数的~~“规”~~和“矩”分别表示[[圆规]]及[[直尺]]，两个尺规作图的重要元素。

'''規矩數'''（又稱'''可造數'''）是指可用[[尺規作圖]]方式作出的[[實數]]。在給定[[單位長度]]的情形下，若可以用尺規作圖的方式作出長度為<math>a</math>的線段，則<math>a</math>就是規矩數。規矩數的「規」和「矩」分別表示[[圓規]]及[[直尺]]，兩個尺規作圖的重要元素。

== 和尺规作图的关系 ==

== 和尺規作圖的關係 ==

利用尺规作图可以将二线段的长度进行[[四则运算]]，也可以求出一线段长度的[[平方根]]。<ref>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树和|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P18}}</ref>因此符合以下任一条件的均为规矩数。

利用尺規作圖可以將二線段的長度進行[[四則運算]]，也可以求出一線段長度的[[平方根]]。<ref>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树和|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P18}}</ref>因此符合以下任一條件的均為規矩數。

* [[整数]]。

* [[整數]]。

* 所有[[有理数]]。

* 所有[[有理數]]。

* 规矩数<math>a</math>的平方根<math>\sqrt[]{a}</math>、四次方根<math>\sqrt[4]{a}</math>、八次方根<math>\sqrt[8]{a}</math>...等<math>2^{n}</math>次方根。

* 規矩數<math>a</math>的平方根<math>\sqrt[]{a}</math>、四次方根<math>\sqrt[4]{a}</math>、八次方根<math>\sqrt[8]{a}</math>...等<math>2^{n}</math>次方根。

如3, <math>\frac{5}{2}</math>,<math>\sqrt[]{3}</math>,<math>\sqrt[4]{7}</math>,<math>\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}</math> 均为规矩数。而 <math>\sqrt[3]{2}</math>,[[圆周率]]<math>\pi\,</math>,[[E (数学常数)|e]]均不是规矩数。

如3, <math>\frac{5}{2}</math>,<math>\sqrt[]{3}</math>,<math>\sqrt[4]{7}</math>,<math>\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}</math> 均為規矩數。而 <math>\sqrt[3]{2}</math>,[[圓周率]]<math>\pi\,</math>,[[E (數學常數)|e]]均不是規矩數。

因~~为两个规~~矩数在相加、減、乘或除之后依然是规矩数，即规矩数对这些算法是[[闭包 (数学)|封闭]]的；换用[[抽象代数]]的[[术语]]，它是一个[[域 (数学)|域]]。

因為兩個規矩數在相加、減、乘或除之後依然是規矩數，即規矩數对这些算法是[[闭包 (数学)|封闭]]的；换用[[抽象代数]]的[[术语]]，它是一個[[域 (數學)|域]]。

== 和整系数方程的关系 ==

== 和整係數方程的關係 ==

规矩数一定是[[代数数]]（为一整系数[[代数方程]]的解），且以此数为其解的[[最小多项式]]其次数为<math>2^{n}</math>。

規矩數一定是[[代數數]]（為一整係數[[代數方程]]的解），且以此数為其解的[[最小多項式]]其次數為<math>2^{n}</math>。

此条件为规矩数成立的[[必要条件]]。因此若一个数是[[超越数]]（非代数数），或一~~数对应~~的[[最小多项式]]为三次、五次，此数必定不是规矩数。

此條件為規矩數成立的[[必要條件]]。因此若一個數是[[超越數]]（非代數數），或一數對應的[[最小多項式]]為三次、五次，此數必定不是規矩數。

== 与古希腊三大难题之关系 ==

== 與古希臘三大難題之關係 ==

尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和嘗试，但在十九世纪以前，一直沒有完整的解答，但开始怀疑其可能性的人之中，也沒有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿~~贝尔开创~~了以群~~论来讨论~~有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原载于科学月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>。

尺规作图三大难题提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到这三个問題的本質<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>。

== 尺规可作性和规矩数 ==

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== 域的扩张与最小多项式 ==

以集合的观念来说，<math>L</math>与<math>\mathbb{Q}</math>、<math>\mathbb{C}</math>之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明{{math|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，是实数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。记作<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}</math>。[[域 (数学)|域]]是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点<ref name="clj"/>。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数<math>z</math>），那么也能做出任意{{math|pz+q}}的点，甚至于任何形如：

以集合的观念来说，<math>L</math>与<math>\mathbb{Q}</math>、<math>\mathbb{C}</math>之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明{{math|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，是实数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。记作<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}</math>。[[域 (數學)|域]]是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点<ref name="clj"/>。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数<math>z</math>），那么也能做出任意{{math|pz+q}}的点，甚至于任何形如：

::<math>\frac{P_1(z)}{P_2(z)}</math>

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|refs=

<ref name="Warner">{{cite book|author=Warner|title=''Modern algebra''|year=1990|publisher=Courier Dover Publications|language=en|isbn=9780486663418}}</ref>

<ref name="Stewart">{{cite book | last = Stewart | first = Ian | authorlink = 艾恩·史都华 | title = ''Galois Theory'' | publisher = Chapman and Hall Mathematics | year = 1989|language=en| isbn = 0-412-34550-1 }}</ref>

<ref name="Stewart">{{cite book | last = Stewart | first = Ian | authorlink = 艾恩·史都華 | title = ''Galois Theory'' | publisher = Chapman and Hall Mathematics | year = 1989|language=en| isbn = 0-412-34550-1 }}</ref>

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[[Category:实数]]

[[Category:實數]]

[[Category:代数数]]

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 {{Numbers}}
-'''规矩数'''（又称'''可造数'''）是指可用[[尺规作图]]方式作出的[[实数]]。在給定[[单位长度]]的情形下，若可以用尺规作图的方式作出长度为<math>a</math>的线段，则<math>a</math>就是规矩数。规矩数的“规”和“矩”分别表示[[圆规]]及[[直尺]]，两个尺规作图的重要元素。
+'''規矩數'''（又稱'''可造數'''）是指可用[[尺規作圖]]方式作出的[[實數]]。在給定[[單位長度]]的情形下，若可以用尺規作圖的方式作出長度為<math>a</math>的線段，則<math>a</math>就是規矩數。規矩數的「規」和「矩」分別表示[[圓規]]及[[直尺]]，兩個尺規作圖的重要元素。
-== 和尺规作图的关系 ==
+== 和尺規作圖的關係 ==
-利用尺规作图可以将二线段的长度进行[[四则运算]]，也可以求出一线段长度的[[平方根]]。<ref>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树和|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P18}}</ref>因此符合以下任一条件的均为规矩数。
+利用尺規作圖可以將二線段的長度進行[[四則運算]]，也可以求出一線段長度的[[平方根]]。<ref>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树和|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P18}}</ref>因此符合以下任一條件的均為規矩數。
-* [[整数]]。
+* [[整數]]。
-* 所有[[有理数]]。
+* 所有[[有理數]]。
-* 规矩数<math>a</math>的平方根<math>\sqrt[]{a}</math>、四次方根<math>\sqrt[4]{a}</math>、八次方根<math>\sqrt[8]{a}</math>...等<math>2^{n}</math>次方根。
+* 規矩數<math>a</math>的平方根<math>\sqrt[]{a}</math>、四次方根<math>\sqrt[4]{a}</math>、八次方根<math>\sqrt[8]{a}</math>...等<math>2^{n}</math>次方根。
-* 有限个规矩数相[[加法|加]]、相[[減法|減]]、相[[乘法|乘]]、相[[除法|除]]（除数[[除以零|不得为0]]）的结果。
+* 有限个規矩數相[[加法|加]]、相[[減法|減]]、相[[乘法|乘]]、相[[除法|除]]（除數[[除以零|不得為0]]）的結果。
-如3, <math>\frac{5}{2}</math>,<math>\sqrt[]{3}</math>,<math>\sqrt[4]{7}</math>,<math>\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}</math> 均为规矩数。而 <math>\sqrt[3]{2}</math>,[[圆周率]]<math>\pi\,</math>,[[E (数学常数)|e]]均不是规矩数。
+如3, <math>\frac{5}{2}</math>,<math>\sqrt[]{3}</math>,<math>\sqrt[4]{7}</math>,<math>\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}</math> 均為規矩數。而 <math>\sqrt[3]{2}</math>,[[圓周率]]<math>\pi\,</math>,[[E (數學常數)|e]]均不是規矩數。
-因为两个规矩数在相加、減、乘或除之后依然是规矩数，即规矩数对这些算法是[[闭包 (数学)|封闭]]的；换用[[抽象代数]]的[[术语]]，它是一个[[域 (数学)|域]]。
+因為兩個規矩數在相加、減、乘或除之後依然是規矩數，即規矩數对这些算法是[[闭包 (数学)|封闭]]的；换用[[抽象代数]]的[[术语]]，它是一個[[域 (數學)|域]]。
-== 和整系数方程的关系 ==
+== 和整係數方程的關係 ==
-规矩数一定是[[代数数]]（为一整系数[[代数方程]]的解），且以此数为其解的[[最小多项式]]其次数为<math>2^{n}</math>。
+規矩數一定是[[代數數]]（為一整係數[[代數方程]]的解），且以此数為其解的[[最小多項式]]其次數為<math>2^{n}</math>。
-此条件为规矩数成立的[[必要条件]]。因此若一个数是[[超越数]]（非代数数），或一数对应的[[最小多项式]]为三次、五次，此数必定不是规矩数。
+此條件為規矩數成立的[[必要條件]]。因此若一個數是[[超越數]]（非代數數），或一數對應的[[最小多項式]]為三次、五次，此數必定不是規矩數。
-== 与古希腊三大难题之关系 ==
+== 與古希臘三大難題之關係 ==
-尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和嘗试，但在十九世纪以前，一直沒有完整的解答，但开始怀疑其可能性的人之中，也沒有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原载于科学月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>。
+尺规作图三大难题提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到这三个問題的本質<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>。
 == 尺规可作性和规矩数 ==
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 == 域的扩张与最小多项式 ==
 {{main|域扩张|最小多项式}}
-以集合的观念来说，<math>L</math>与<math>\mathbb{Q}</math>、<math>\mathbb{C}</math>之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明{{math|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，是实数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。记作<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}</math>。[[域 (数学)|域]]是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点<ref name="clj"/>。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数<math>z</math>），那么也能做出任意{{math|pz+q}}的点，甚至于任何形如：
+以集合的观念来说，<math>L</math>与<math>\mathbb{Q}</math>、<math>\mathbb{C}</math>之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明{{math|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，是实数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。记作<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}</math>。[[域 (數學)|域]]是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点<ref name="clj"/>。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数<math>z</math>），那么也能做出任意{{math|pz+q}}的点，甚至于任何形如：
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