欧几里得空间：修订间差异

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 [[File:Coord system CA 0.svg|缩略图|右|250px|三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定。]]
-'''欧几里得几何'''是在约公元前300年，由[[古希腊]][[数学家]][[欧几里得]]建立的[[角]]和[[空间 (数学)|空间]]中[[距离]]之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上[[二维]]物体的“平面几何”，他接着分析[[三维空间|三维]]物体的“立体几何”，所有欧几里得的[[公理]]被编排到[[几何原本]]。
+'''欧几里得几何'''是在约公元前300年，由[[古希腊]][[数学家]][[欧几里得]]建立的[[角]]和[[空間 (數學)|空间]]中[[距离]]之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上[[二维]]物体的“平面几何”，他接着分析[[三維空間|三维]]物体的“立体几何”，所有欧几里得的[[公理]]被编排到[[幾何原本]]。
 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做'''<math>n</math>维欧几里得空间'''（甚至简称'''<math>n</math>维空间'''）或'''有限维实内积空间'''。
 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为'''实[[内积空间]]'''（不一定完备），
-[[希尔伯特空间]]在[[抽象代数|高等代数]]教科书中也被称为欧几里得空间。
+[[希尔伯特空间]]在[[抽象代數|高等代数]]教科书中也被称为欧几里得空间。
 为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。
 尽管结果的数学非常抽象，它却呈现了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。
-另外也存在其他种类的空间，例如球面[[非欧几里得空间]]，[[相对论]]所描述的[[四维]][[时空]]在[[重力]]出现的时候也不是欧几里得空间。
+另外也存在其他種類的空间，例如球面[[非欧几里得空间]]，[[相对论]]所描述的[[四维]][[时空]]在[[重力]]出现的时候也不是欧几里得空间。
 == 直觉概述 ==
-有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的[[点]]所成的集合。其一是[[平移]]，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的[[旋转]]，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是[[子集]]）应被认为是等价的（[[全等]]）。（参见[[欧几里得群]]）。
+有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的[[点]]所成的集合。其一是[[平移]]，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的[[旋转]]，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是[[子集]]）应被认为是等价的（[[全等]]）。（参见[[歐幾里得群|欧几里得群]]）。
 为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了[[内积]]的二维[[实数]]的[[向量空间]]。有着:
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 欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间[[群作用|作用]]于其上[[仿射空间]]。直觉上，区别在于对于[[原点]]应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。
-== 实数坐标空间 ==
+== 實數坐標空間 ==
-以<math>\mathbb R</math>表示[[实数#公理的方法|实数-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-]]。对任意一个正整数n，实数的[[多元组|n元组]]的全体构成了<math>\mathbb{R}</math>上的一个n维[[向量空间]]，用<math>\mathbb{R}^n</math>来表示。有时称之为'''实数坐标空间'''。
+以<math>\mathbb R</math>表示[[實數#公理的方法|實數-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-]]。對任意一個正整數n，實數的[[多元组|n元組]]的全體構成了<math>\mathbb{R}</math>上的一個n維[[向量空間]]，用<math>\mathbb{R}^n</math>來表示。有時稱之為'''實數坐標空間'''。
-<math>\mathbb{R}^n</math>中的元素写作<math>X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>，这里的<math>x_i</math>都是实数。<math>\mathbb{R}^n</math>作为向量空间，其运算是这样定义的：
+<math>\mathbb{R}^n</math>中的元素寫作<math>X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>，这裡的<math>x_i</math>都是實數。<math>\mathbb{R}^n</math>作為向量空間，其運算是這樣定義的：
 :<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
 :<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
-通常引入实数坐标空间<math>\mathbb{R}^n</math>的[[标準正交基]]：
+通常引入實數坐標空間<math>\mathbb{R}^n</math>的[[標準正交基]]：
 :<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
 :<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
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 :<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>
-于是<math>\mathbb{R}^n</math>中任意的向量可以表示成下面的形式：
+於是<math>\mathbb{R}^n</math>中任意的向量可以表示成下面的形式：
 :<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
-n维实数坐标空间是实n维向量空间的[[原型]]。事实上，每一个n维向量空间<math>V\ </math>都可以看作实数坐标空间——<math>V\ </math>与<math>\mathbb{R}^n</math>是[[同构]]的（isomorphic）。不过这个同构不是[[正则]]（Canonical）的，每个同构的选择都相当于在<math>V\ </math>中选择了一组[[基 (线性代数)|基]]（即<math>\mathbb{R}^n</math>的n个标准基在<math>V\ </math>中的同构[[像]]）。我们有时候只着眼于任意n维向量空间而不是具体的<math>\mathbb{R}^n</math>，这是因为不希望为坐标的概念所束縛（即，有时候不必选择<math>V\ </math>中特定的一组基）。
+n維實數坐標空間是實n維向量空間的[[原型]]。事實上，每一个n維向量空間<math>V\ </math>都可以看作實數坐標空間——<math>V\ </math>與<math>\mathbb{R}^n</math>是[[同構]]的（isomorphic）。不過這個同構不是[[正則]]（Canonical）的，每個同構的選擇都相當於在<math>V\ </math>中選擇了一組[[基 (線性代數)|基]]（即<math>\mathbb{R}^n</math>的n個标准基在<math>V\ </math>中的同構[[像]]）。我們有時候只着眼於任意n維向量空間而不是具體的<math>\mathbb{R}^n</math>，這是因為不希望為坐標的概念所束縛（即，有時候不必選擇<math>V\ </math>中特定的一組基）。
-== 欧几里得结构 ==
+== 歐幾里得結構 ==
-至于欧几里得空间，则是在<math>\mathbb{R}^n</math>上再添加一些内容：欧几里得结构。<br />
+至於歐幾里得空間，則是在<math>\mathbb{R}^n</math>上再添加一些內容：歐幾里得結構。<br />
-为了做[[欧氏几何]]，人们希望能討论两点间的[[距离]]，直线或向量间的[[角度|夾角]]。一个自然的方法是在<math>\mathbb{R}^n</math>上，对任意两个向量<math>\mathbf{x}</math>、<math>\mathbf{y}</math>，引入它们的“标準[[内积]]”<math><\mathbf{x},\mathbf{y}></math>（一些文献上称为[[点积]]，记为<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}</math>）：
+為了做[[歐氏幾何]]，人们希望能討論兩點間的[[距離]]，直線或向量間的[[角度|夾角]]。一個自然的方法是在<math>\mathbb{R}^n</math>上，對任意兩個向量<math>\mathbf{x}</math>、<math>\mathbf{y}</math>，引入它們的「標準[[內積]]」<math><\mathbf{x},\mathbf{y}></math>（一些文獻上稱為[[點積]]，記為<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}</math>）：
 :<math><\mathbf{x}, \mathbf{y}> = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n</math>。
-也就是说，<math>\mathbb{R}^n</math>中的任意两个向量对应着一个实数值。
+也就是說，<math>\mathbb{R}^n</math>中的任意兩個向量對應着一個實數值。
-我们把<math>\mathbb{R}^n</math>及这样定义的内积，称为<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''欧几里得结构'''；此时的<math>\mathbb{R}^n</math>也被称为n维欧几里得空间，内积"<,>"称为'''欧氏内积'''。
+我們把<math>\mathbb{R}^n</math>及這樣定義的內積，稱為<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''歐幾里得結構'''；此時的<math>\mathbb{R}^n</math>也被稱為n維歐幾里得空間，內積"<,>"稱為'''歐氏內積'''。
-利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念：
+利用這個內積，可以建立距離、長度、角度等概念：
-* 向量<math>\mathbf{x}</math>的长度：
+* 向量<math>\mathbf{x}</math>的長度：
 :<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{<\mathbf{x},\mathbf{x}>} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
-这里的长度函数满足[[范数]]所需的性质，故又称为<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''欧氏范数'''。
+這裡的長度函数滿足[[範數]]所需的性質，故又稱為<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''歐氏範數'''。
-* <math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>所夾的'''内角'''以下列式子给出
+* <math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>所夾的'''內角'''以下列式子给出
 :<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{<\mathbf{x},\mathbf{y}>}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
-这里的<math>\cos^{-1}</math>为[[三角函数|反餘弦函数]]。
+這裡的<math>\cos^{-1}</math>為[[三角函数|反餘弦函數]]。
-* 最后，可以利用欧氏范数来定义<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''距离函数'''，或称'''[[度量]]'''：
+* 最后，可以利用歐氏範數來定義<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''距離函數'''，或稱'''[[度量]]'''：
 :<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>。
-这个距离函数称为[[欧几里得度量]]，它可以看作[[勾股定理]]一种形式。
+這個距離函數稱為[[歐幾里得度量]]，它可以看作[[勾股定理]]一種形式。
-这里的<math>\mathbb{R}^n</math>仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为'''欧氏空间'''；有些作者会用符号<math>\mathbb{E}^n</math>来标记之。欧氏结构使<math>\mathbb{E}^n</math>具有这些空间结构：[[内积空间]]、[[希尔伯特空间]]、[[赋范向量空间]]以及[[度量空间]]。
+這裡的<math>\mathbb{R}^n</math>僅指實數向量空間，而加入了如上定義的歐幾里得結構後才稱為'''歐氏空間'''；有些作者會用符號<math>\mathbb{E}^n</math>來標記之。歐氏結構使<math>\mathbb{E}^n</math>具有這些空間結構：[[內積空間]]、[[希爾伯特空間]]、[[賦範向量空間]]以及[[度量空間]]。
 == 欧氏拓扑 ==
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 * [[欧几里得几何]]
 * [[欧几里得距离]]
-* [[閔可夫斯基时空]]
+* [[閔可夫斯基時空]]
 * [[黎曼几何]]
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 * {{cite book | author=Munkres, James | title=Topology | publisher=Prentice-Hall | year=1999 | id= ISBN 978-0-13-181629-9 }}
 {{泛函分析}}
-{{维度}}
+{{維度}}
 [[Category:欧几里得几何|O]]
-[[Category:线性代数|O]]
+[[Category:線性代數|O]]
 [[Category:拓扑空间|O]]
 [[Category:度量几何|O]]