黎曼曲面：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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[[File:Riemann_sqrt.png|300px|缩略图|函数<math>f(z) =\sqrt[]{z}</math>的黎曼曲面]]

[[数学]]上，特别是在[[复分析]]中，一个'''黎曼曲面'''是一个一维[[复流形]]。黎曼曲面可以被视为是一个[[复平面]]的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的[[拓扑]]可能极为不同。例如，他们可以看起来像[[球]]或是环，或者两个页面粘在一起。

[[数学]]上，特别是在[[复分析]]中，一个'''黎曼曲面'''是一个一维[[复流形]]。黎曼曲面可以被視为是一个[[复平面]]的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的[[拓扑]]可能极为不同。例如，他们可以看起来像[[球]]或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义[[全纯函数]]。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像[[平方根]]和[[自然对数]]这样的[[多值函数]]。

黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义[[全纯函数]]。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像[[平方根]]和[[自然对数]]这样的[[多值函數]]。

每个黎曼曲面都是二维实解析[[流形]]（也就是[[曲面]]），但它有更多的结构（特别是一个[[~~复结构~~]]），因为全纯函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是[[可定向]]的。所以球和环有~~复结构~~，但是[[莫比乌斯带]]，[[克莱因瓶]]和[[射影平面]]没有。

每个黎曼曲面都是二维实解析[[流形]]（也就是[[曲面]]），但它有更多的结构（特别是一个[[複結構]]），因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是[[可定向]]的。所以球和环有複結構，但是[[莫比乌斯带]]，[[克莱因瓶]]和[[射影平面]]没有。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给与其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。[[黎曼-罗赫定理]]就是这种影响的最佳例子。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给與其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。[[黎曼-罗赫定理]]就是这种影响的最佳例子。

== 形式化定义 ==

第25行：

== 属性和更多的定义 ==

两个黎曼曲面''M''和''N''之间的[[函数]]''f'' : ''M'' → ''N''称为全纯，如果对于''M''的图集中的每个图''g''和''N''的图集中的每个图''h''，映射''h'' o ''f'' o ''g''−1在所有有定义的地方是全纯的（作为从'''C'''到'''C'''的函数）。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面''M''和''N''称为'''保角等价'''（或'''共形等价'''），如果存在一个[[双射]]的从''M''到''N''的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。

两个黎曼曲面''M''和''N''之间的[[函数]]''f'' : ''M'' → ''N''称为全纯，如果对于''M''的图集中的每个图''g''和''N''的图集中的每个图''h''，映射''h'' o ''f'' o ''g''−1在所有有定义的地方是全纯的（作为从'''C'''到'''C'''的函数）。两个全纯函数的複合是全纯的。两个黎曼曲面''M''和''N''称为'''保角等价'''（或'''共形等价'''），如果存在一个[[双射]]的从''M''到''N''的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。

每个[[单连通]]的黎曼曲面和'''C'''或黎曼球'''C''' ∪ {∞}或开圆盘{''z'' ∈ '''C''' : |''z''| < 1}保角等价。这个命题称为[[单值化定理]]。

第31行：

每个连通黎曼曲面可以转成有常数[[曲率]]-1，0或1的[[完备]]实[[黎曼流形]]。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为'''双曲'''的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为'''抛物'''的；'''C'''是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为'''椭圆'''的；[[黎曼球]]'''C''' ∪ {∞}是这样的一个例子。

对于每个闭抛物黎曼曲面，[[基本群]]同构于2阶[[格群]]，因而曲面可以构造为'''C'''/Γ,其中'''C'''是复平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做[[基本域]]。

对于每个闭抛物黎曼曲面，[[基本群]]同构于2阶[[格群]]，因而曲面可以构造为'''C'''/Γ,其中'''C'''是複平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做[[基本域]]。

类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于[[富克斯群]]，因而曲面可以由[[富克斯模型]]'''H'''/Γ构造，其中'''H'''是[[上半平面]]而Γ是富克斯群。'''H'''/Γ陪集的代表是[[自由正则集]]，可以作为度量[[基本多边形]]。

第37行：

当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是<math>4\pi(g-1)</math>,其中''g''是曲面的[[亏格]]；面积可由把[[高斯-博内定理]]应用到基本多边形的面积上来算出。

前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样[[可定向]]。因为复图''f''和''g''有变换函数''h'' = ''f''(''g''−1(''z''))，我们可以认为''h''是从'''R'''2开集到'''R'''2的映射，在点''z''的[[雅可比矩阵]]也就是由乘以复数''h'(z)''的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的[[行列式]]等于|α|^2,所以''h''的雅可比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。

前面我们提到黎曼曲面，象所有複流形，象实流形一样[[可定向]]。因为複图''f''和''g''有变换函数''h'' = ''f''(''g''−1(''z''))，我们可以认为''h''是从'''R'''2开集到'''R'''2的映射，在点''z''的[[雅可比矩阵]]也就是由乘以複數''h'(z)''的运算给出的实线性变换。但是，乘以複數α的[[行列式]]等于|α|^2,所以''h''的雅可比阵有正的行列式值。所以，複图集是可定向图集。

== 历史 ==

第47行：

* [[代数几何]]

* [[共形几何]]

* [[黎曼曲率张量]]

* [[黎曼曲率張量]]

* [[黎曼球面]]

* [[凯勒流形]]

* [[泰希米勒空间]]

* [[儿童画]]（Dessin d'enfant）

* [[兒童畫]]（Dessin d'enfant）

* 和黎曼曲面有关的定理

** [[黎曼-罗赫定理]]

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 [[File:Riemann_sqrt.png|300px|缩略图|函数<math>f(z) =\sqrt[]{z}</math>的黎曼曲面]]
-[[数学]]上，特别是在[[复分析]]中，一个'''黎曼曲面'''是一个一维[[复流形]]。黎曼曲面可以被视为是一个[[复平面]]的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的[[拓扑]]可能极为不同。例如，他们可以看起来像[[球]]或是环，或者两个页面粘在一起。
+[[数学]]上，特别是在[[复分析]]中，一个'''黎曼曲面'''是一个一维[[复流形]]。黎曼曲面可以被視为是一个[[复平面]]的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的[[拓扑]]可能极为不同。例如，他们可以看起来像[[球]]或是环，或者两个页面粘在一起。
-黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义[[全纯函数]]。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像[[平方根]]和[[自然对数]]这样的[[多值函数]]。
+黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义[[全纯函数]]。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像[[平方根]]和[[自然对数]]这样的[[多值函數]]。
-每个黎曼曲面都是二维实解析[[流形]]（也就是[[曲面]]），但它有更多的结构（特别是一个[[复结构]]），因为全纯函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是[[可定向]]的。所以球和环有复结构，但是[[莫比乌斯带]]，[[克莱因瓶]]和[[射影平面]]没有。
+每个黎曼曲面都是二维实解析[[流形]]（也就是[[曲面]]），但它有更多的结构（特别是一个[[複結構]]），因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是[[可定向]]的。所以球和环有複結構，但是[[莫比乌斯带]]，[[克莱因瓶]]和[[射影平面]]没有。
-黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给与其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。[[黎曼-罗赫定理]]就是这种影响的最佳例子。
+黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给與其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。[[黎曼-罗赫定理]]就是这种影响的最佳例子。
 == 形式化定义 ==
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 == 属性和更多的定义 ==
-两个黎曼曲面''M''和''N''之间的[[函数]]''f'' : ''M'' → ''N''称为全纯，如果对于''M''的图集中的每个图''g''和''N''的图集中的每个图''h''，映射''h'' o ''f'' o ''g''<sup>−1</sup>在所有有定义的地方是全纯的（作为从'''C'''到'''C'''的函数）。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面''M''和''N''称为'''保角等价'''（或'''共形等价'''），如果存在一个[[双射]]的从''M''到''N''的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。
+两个黎曼曲面''M''和''N''之间的[[函数]]''f'' : ''M'' → ''N''称为全纯，如果对于''M''的图集中的每个图''g''和''N''的图集中的每个图''h''，映射''h'' o ''f'' o ''g''<sup>−1</sup>在所有有定义的地方是全纯的（作为从'''C'''到'''C'''的函数）。两个全纯函数的複合是全纯的。两个黎曼曲面''M''和''N''称为'''保角等价'''（或'''共形等价'''），如果存在一个[[双射]]的从''M''到''N''的全纯函数并且其逆也是全纯的（最后一个条件是自动满足的所以可以略去）。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。
 每个[[单连通]]的黎曼曲面和'''C'''或黎曼球'''C''' ∪ {∞}或开圆盘{''z'' ∈ '''C''' : |''z''| < 1}保角等价。这个命题称为[[单值化定理]]。
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 每个连通黎曼曲面可以转成有常数[[曲率]]-1，0或1的[[完备]]实[[黎曼流形]]。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为'''双曲'''的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为'''抛物'''的；'''C'''是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为'''椭圆'''的；[[黎曼球]]'''C''' ∪ {∞}是这样的一个例子。
-对于每个闭抛物黎曼曲面，[[基本群]]同构于2阶[[格群]]，因而曲面可以构造为'''C'''/Γ,其中'''C'''是复平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做[[基本域]]。
+对于每个闭抛物黎曼曲面，[[基本群]]同构于2阶[[格群]]，因而曲面可以构造为'''C'''/Γ,其中'''C'''是複平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做[[基本域]]。
 类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于[[富克斯群]]，因而曲面可以由[[富克斯模型]]'''H'''/Γ构造，其中'''H'''是[[上半平面]]而Γ是富克斯群。'''H'''/Γ陪集的代表是[[自由正则集]]，可以作为度量[[基本多边形]]。
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 当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是<math>4\pi(g-1)</math>,其中''g''是曲面的[[亏格]]；面积可由把[[高斯-博内定理]]应用到基本多边形的面积上来算出。
-前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样[[可定向]]。因为复图''f''和''g''有变换函数''h'' = ''f''(''g''<sup>−1</sup>(''z''))，我们可以认为''h''是从'''R'''<sup>2</sup>开集到'''R'''<sup>2</sup>的映射，在点''z''的[[雅可比矩阵]]也就是由乘以复数''h'(z)''的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的[[行列式]]等于|α|^2,所以''h''的雅可比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。
+前面我们提到黎曼曲面，象所有複流形，象实流形一样[[可定向]]。因为複图''f''和''g''有变换函数''h'' = ''f''(''g''<sup>−1</sup>(''z''))，我们可以认为''h''是从'''R'''<sup>2</sup>开集到'''R'''<sup>2</sup>的映射，在点''z''的[[雅可比矩阵]]也就是由乘以複數''h'(z)''的运算给出的实线性变换。但是，乘以複數α的[[行列式]]等于|α|^2,所以''h''的雅可比阵有正的行列式值。所以，複图集是可定向图集。
 == 历史 ==
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 * [[代数几何]]
 * [[共形几何]]
-* [[黎曼曲率张量]]
+* [[黎曼曲率張量]]
 * [[黎曼球面]]
 * [[凯勒流形]]
 * [[泰希米勒空间]]
-* [[儿童画]]（Dessin d'enfant）
+* [[兒童畫]]（Dessin d'enfant）
 * 和黎曼曲面有关的定理
 ** [[黎曼-罗赫定理]]