龙格—库塔法：修订间差异

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小 （noteTA|ja|jpn|-{|}-跳过, replaced: 為 → 为 (3), 種 → 种, 個 → 个, 資 → 资, 斷 → 断 (2), 階 → 阶, 當 → 当, 訊 → 讯, 組 → 组, 誤 → 误 (2)）
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== 四阶Runge-Kutta法 ==
== 四阶Runge-Kutta法 ==
在各種Runge-Kutta法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“Runge-Kutta法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值資訊，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。
在各种Runge-Kutta法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“Runge-Kutta法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值资讯，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。


令[[初值问题]]表述如下。
令[[初值问题]]表述如下。
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Runge-Kutta法是自洽的，如果
Runge-Kutta法是自洽的，如果
:<math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.</math>
:<math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.</math>
如果要求方法的精度為''p''階，即截斷誤差為O(''h''<sup>''p''+1</sup>)的，则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> = 1, ''b''<sub>2</sub>''c''<sub>2</sub> = 1/2, 以及''b''<sub>2</sub>''a''<sub>21</sub> = 1/2。
如果要求方法的精度为''p''阶，即截断误差为O(''h''<sup>''p''+1</sup>)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> = 1, ''b''<sub>2</sub>''c''<sub>2</sub> = 1/2, 以及''b''<sub>2</sub>''a''<sub>21</sub> = 1/2。


=== 例子 ===
=== 例子 ===
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然而，最简单的Runge-Kutta法是（更早发现的）[[欧拉方法]]，其公式為<math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) </math>。这是唯一自洽的一级显式Runge-Kutta方法。相应的表为：
然而，最简单的Runge-Kutta法是（更早发现的）[[欧拉方法]]，其公式为<math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) </math>。这是唯一自洽的一级显式Runge-Kutta方法。相应的表为：


{| cellpadding=3px cellspacing=0px
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
第130行： 第130行：
</math>
</math>


需要注意的是，与显式Runge-Kutta方法不同，隐式Runge-Kutta方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組，这相应的增加了计算的成本。
需要注意的是，与显式Runge-Kutta方法不同，隐式Runge-Kutta方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。


== 参考 ==
== 参考 ==
取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/龙格—库塔法”