正切：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

第1行：

{{函數

{{函数

|name =正切

|image =Tan proportional.svg

第29行：

|inflection =

|fixed = 0

|notes =k是一個[[整數]]。}}

|notes =k是一个[[整数]]。}}

'''正切'''（Tangent，<math>\tan</math>，东欧国家将其写作tg）是[[三角函数]]的一种。它的[[值域]]是整个[[实数集]]，[[定义域]]落在<math>\{ x|x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in Z \}</math>。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>\pi</math>。正切函数是[[奇函数]]。

第38行：

=== 直角三角形中 ===

[[File:Rtriangle.svg|缩略图|左|200px|直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 <math> \theta </math>，對於 ∠A 而言，a~~為對邊~~、b~~為鄰邊~~、c為斜邊]]

[[File:Rtriangle.svg|缩略图|左|200px|直角三角形，∠C为直角，∠A 的角度为 <math> \theta </math>，对于 ∠A 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边]]

在[[直角三角形]]中，一个锐角的'''正切'''定义为它的對邊与鄰邊的比值，也就是：

在[[直角三角形]]中，一个锐角的'''正切'''定义为它的对边与邻边的比值，也就是：

:<math> \tan \theta = \frac {\text{a}}{\text{b}} = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\,\!</math>

可以發現其定義和[[餘切函數]]互為[[倒數]]。

可以发现其定义和[[餘切函数]]互为[[倒数]]。

=== 直角坐标系中 ===

第51行：

=== 单位圆定义 ===

[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|缩略图|[[单位圆]]]]

图像中给出了用[[弧度]]度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，並令这个交点為''y''。另原點為''O''。做一直線，''y''點，垂直於<math>\overline{Oy}</math>，並與单位圆相切，令直線與x軸的交點，則此點與''y''點之距離為[[正切比]]值。

图像中给出了用[[弧度]]度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，并令这个交点为''y''。另原点为''O''。做一直线，''y''点，垂直于<math>\overline{Oy}</math>，并与单位圆相切，令直线与x轴的交点，则此点与''y''点之距离为[[正切比]]值。

[[File:Circle-trig6.svg|300px|缩略图|左|[[单位圆]]上的正切]]

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函數]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由於正切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为π的[[周期函数]]：

对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函数]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由于正切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为π的[[周期函数]]：

:<math>\tan\theta = \tan\left(\theta + \pi k \right)</math>

第62行：

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 級數定義 ===

=== 级数定义 ===

正切函數也可以使用[[泰勒展開式]]定義

正切函数也可以使用[[泰勒展开式]]定义

:<math>\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math>

其中<math>B_{2n}</math>為[[伯努利數]]。

其中<math>B_{2n}</math>为[[伯努利数]]。

=== 微分方程定义 ===

第74行：

:<math>\int \tan x \, dx = -\ln (\cos x)</math>

所以可以用

:<math>\tan x = (-\ln (\cos x))' \,</math>來定義。

:<math>\tan x = (-\ln (\cos x))' \,</math>来定义。

=== 指数定义 ===

第83行：

{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"

! 函數

! 函数

! sin

! cos

第145行：

</math>

== 用途 ==

=== 物理學 ===

=== 物理学 ===

一物體在[[斜面]]上剛開始[[滑動]]時，其[[靜摩擦係數]]為斜面[[傾角]]的'''正切'''值。

一物体在[[斜面]]上刚开始[[滑动]]时，其[[静摩擦系数]]为斜面[[傾角]]的'''正切'''值。

== 參見 ==

== 参见 ==

* [[正弦]]

第158行：

* [[三角函数]]

[[Category:三角学|Z]]

@@ 第1行： / 第1行： @@
-{{函數
+{{函数
 |name =正切
 |image =Tan proportional.svg
@@ 第29行： / 第29行： @@
 |inflection =
 |fixed = 0
-|notes =k是一個[[整數]]。}}
+|notes =k是一个[[整数]]。}}
 '''正切'''（Tangent，<math>\tan</math>，东欧国家将其写作tg）是[[三角函数]]的一种。它的[[值域]]是整个[[实数集]]，[[定义域]]落在<math>\{ x|x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in Z \}</math>。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>\pi</math>。正切函数是[[奇函数]]。
@@ 第38行： / 第38行： @@
 === 直角三角形中 ===
-[[File:Rtriangle.svg|缩略图|左|200px|直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 <math> \theta </math>， 對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
+[[File:Rtriangle.svg|缩略图|左|200px|直角三角形，∠C为直角，∠A 的角度为 <math> \theta </math>， 对于 ∠A 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边]]
-在[[直角三角形]]中，一个锐角的'''正切'''定义为它的對邊与鄰邊的比值，也就是：
+在[[直角三角形]]中，一个锐角的'''正切'''定义为它的对边与邻边的比值，也就是：
 :<math> \tan \theta = \frac {\text{a}}{\text{b}} = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\,\!</math>
-可以發現其定義和[[餘切函數]]互為[[倒數]]。
+可以发现其定义和[[餘切函数]]互为[[倒数]]。
 === 直角坐标系中 ===
@@ 第51行： / 第51行： @@
 === 单位圆定义 ===
 [[File:Unit_circle_angles.svg|300px|缩略图|[[单位圆]]]]
-图像中给出了用[[弧度]]度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，並令这个交点為''y''。另原點為''O''。做一直線，''y''點，垂直於<math>\overline{Oy}</math>，並與单位圆相切，令直線與x軸的交點，則此點與''y''點之距離為[[正切比]]值。
+图像中给出了用[[弧度]]度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，并令这个交点为''y''。另原点为''O''。做一直线，''y''点，垂直于<math>\overline{Oy}</math>，并与单位圆相切，令直线与x轴的交点，则此点与''y''点之距离为[[正切比]]值。
 [[File:Circle-trig6.svg|300px|缩略图|左|[[单位圆]]上的正切]]
 {{clear}}
 单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
-对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函數]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由於正切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为π的[[周期函数]]：
+对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函数]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由于正切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为π的[[周期函数]]：
 :<math>\tan\theta = \tan\left(\theta + \pi k \right)</math>
@@ 第62行： / 第62行： @@
 对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。
-=== 級數定義 ===
+=== 级数定义 ===
-正切函數也可以使用[[泰勒展開式]]定義
+正切函数也可以使用[[泰勒展开式]]定义
 :<math>\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math>
-其中<math>B_{2n}</math>為[[伯努利數]]。
+其中<math>B_{2n}</math>为[[伯努利数]]。
 === 微分方程定义 ===
@@ 第74行： / 第74行： @@
 :<math>\int \tan x  \, dx = -\ln (\cos x)</math>
 所以可以用
-:<math>\tan x = (-\ln (\cos x))' \,</math>來定義。
+:<math>\tan x = (-\ln (\cos x))' \,</math>来定义。
 === 指数定义 ===
@@ 第83行： / 第83行： @@
 {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
-! 函數
+! 函数
 ! sin
 ! cos
@@ 第145行： / 第145行： @@
 </math>
 == 用途 ==
-=== 物理學 ===
+=== 物理学 ===
-一物體在[[斜面]]上剛開始[[滑動]]時，其[[靜摩擦係數]]為斜面[[傾角]]的'''正切'''值。
+一物体在[[斜面]]上刚开始[[滑动]]时，其[[静摩擦系数]]为斜面[[傾角]]的'''正切'''值。
-== 參見 ==
+== 参见 ==
 * [[正弦]]
@@ 第158行： / 第158行： @@
 * [[三角函数]]
-{{三角函數}}
+{{三角函数}}
 [[Category:三角学|Z]]