筹算：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

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[[File:Rod numeral positioning.JPG|缩略图|右|300px|永乐大典宋朝筹算布位图中的數字：七萬一千八百二十四]]

[[File:Rod numeral positioning.JPG|缩略图|右|300px|永乐大典宋朝筹算布位图中的数字：七万一千八百二十四]]

[[File:Counting board.jpg|缩略图|右|450px|日本带格筹算板]]

'''筹算'''（{{lang-en|Rod calculus}}）是[[漢字文化圈]][[古代]]使用[[算筹]]进行[[十进位制]]计算的程序。

'''筹算'''（{{lang-en|Rod calculus}}）是[[汉字文化圈]][[古代]]使用[[算筹]]进行[[十进位制]]计算的程序。

== 历史 ==

筹算具体出现时间已然不可考，但根据典籍记录和考古发现，{{Cn|至少在[[战国]]初年筹算已然出现。}}它使用中国[[商代]]发明的[[十进位制]]计数，可以很方便地进行[[四则运算]]以及[[乘方]]，[[开方]]等较复杂运算，并可以对[[零]]、[[负数]]和[[分数]]作出表示与[[计算]]。

筹算在公元6世纪由中国传入[[朝鮮半島|-{zh-cn:朝鲜半岛; zh-sg:韩国; zh-hant:韓國;}-]]和[[日本]]。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。<ref>钱宝琮《中国古代分数算法的发展》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 392页</ref>。一直到被[[珠算]]完全取代之前，筹算是東亞古代进行日常计算的方法，算筹是東亞古代数学家研究[[数学]]时常用的计算器具，是東亞古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至東亞古代以计算为中心的机械化数学体系，与[[古希腊]]以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流<ref>吴文俊《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》《吴文俊文集》 2页</ref>

筹算在公元6世纪由中国传入[[朝鲜半岛|-{zh-cn:朝鲜半岛; zh-sg:韩国; zh-hant:韩国;}-]]和[[日本]]。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。<ref>钱宝琮《中国古代分数算法的发展》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 392页</ref>。一直到被[[珠算]]完全取代之前，筹算是东亚古代进行日常计算的方法，算筹是东亚古代数学家研究[[数学]]时常用的计算器具，是东亚古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至东亚古代以计算为中心的机械化数学体系，与[[古希腊]]以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流<ref>吴文俊《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》《吴文俊文集》 2页</ref>

== 影響 ==

== 影响 ==

筹算的乘除法传入印度，成为土盘算法<ref>钱宝琮《中国古代数学的伟大成就》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 383页</ref>。9世纪初至10世纪，又经印度传入阿拉伯,这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作，诸如《[[印度算术原理]]》，其土盘算式虽然用[[阿拉伯数字]]表示，但其[[十进位制]]概念，分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算雷同，有的还用空格“{{0}}”表示“0”，和筹算一模一样。有学者认为，中国古代的筹算，通过[[丝绸之路]]传入[[印度]]、[[阿拉伯]]，促成印度－阿拉伯数字体系<ref>[[新加坡大学]]教授[[蓝丽蓉]]：《阿拉伯数字体系起源于中国筹算的证据》，Fleeting Footsteps</ref>。

== 数字表示 ==

[[File:Chounumerals.svg|右|缩略图|200px|一到九的直型態與橫型態對照]]

[[File:Chounumerals.svg|右|缩略图|200px|一到九的直型态与橫型态对照]]

算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位数字或分数的系统。

单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是並排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含[[算盘]]雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相應數字的横码。

单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是并排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含[[算盘]]雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相应数字的横码。

[[File:Rod231.jpg|右|缩略图|200px|使用直橫排列避免混淆]]

大于9的数字，则用[[十进制]]表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十位数值左的位置，代表百位数，如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示法，在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30，在百位放置筹数2，代表200，总数即二百三十一（231）。《孙子算经》云：

筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2，3，1并排排列，有可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，每隔一位交替使用竖码横码，即个位竖码，十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以完全避免误读了<ref>[[李约瑟]] 原著柯林‧罗南改编《中华科学文明史》卷2 第一章数学</ref>。

=== 零的表示 ===

[[File:Rodnumberwithzero.jpg|右|缩略图|200px|數字後加斜棍表負數]]

[[File:Rodnumberwithzero.jpg|右|缩略图|200px|数字后加斜棍表负数]]

中国自有筹算起就有“0”，即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零，没有特定符号，这和阿拉伯数字专有一个符号0不同，{{Cn|阿拉伯数字0只是符号零，不是运算结果。}}

=== 正负数 ===

[[宋朝]]数学家用[[红色]]筹码代表正数，用[[黑色]]筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在數字最後一位加一根斜棍標示為负数。<ref>Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu p58 ISBN 0-486-41445-0

[[宋朝]]数学家用[[红色]]筹码代表正数，用[[黑色]]筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在数字最后一位加一根斜棍标示为负数。<ref>Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu p58 ISBN 0-486-41445-0

</ref>

== 小数 ==

[[孙子算经]]的度量衡已有十进位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六絲，用现代表示方法为71.23456尺，用算筹排为

[[孙子算经]]的度量衡已有十进位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六丝，用现代表示方法为71.23456尺，用算筹排为

其中[[File:Counting rod h7.png|20px]]为十位数，[[File:Counting rod v1.png|10px]]为个位数，[[File:Counting rod h2.png|20px]]为十分之一位等等。

第64行：

[[File:Rod subtraction with carry.GIF|左|缩略图|180px]]

不需向上一數量級借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左~~圖為計~~算54-23的演示步驟。

不需向上一数量级借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左图为计算54-23的演示步驟。

右~~圖為計~~算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數量級借位：

右图为计算4231-789的演示步驟，此情況即为需要向上一数量级借位：

# 将被减数4231放在上行，减数789放下行。从左往右逐位运筹。

# 从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。

第78行：

《[[孙子算经]]》对筹算乘法有详细阐述。

左圖即為筹算38×76的演示步驟：

左图即为筹算38×76的演示步驟：

# 将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位，对齐被乘数的最高位。如图：被乘数38在上排，乘数76在下排，其个位数6对齐被乘数38的3。上下排之间，留空几排，作中间积存放处。

# 运算规则：从左至右。

# 从被乘数的最高位开始运筹（例中即先運算30×76，再運算8×76）。在运算中必须运用[[九九表]]。据九九表「三七二十一」，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的十位，即在7之上；然後「三六一十八~~」；（30×76~~得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。

# 从被乘数的最高位开始运筹（例中即先运算30×76，再运算8×76）。在运算中必须运用[[九九表]]。据九九表“三七二十一”，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的十位，即在7之上；然后“三六一十八”；（30×76得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。

# 将乘数76的筹码，往右移动一位，7改横码，6改为竖码；

# 以下再運算8×76，運算「七八五十六」，撤乘数十位数筹码7；

# 以下再运算8×76，运算“七八五十六”，撤乘数十位数筹码7；

# 運算「八六四十八~~」，4~~与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；

# 运算“八六四十八”，4与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；

# 将中间积2280与608相加，得积2888，至此整條算式运算完毕。

# 将中间积2280与608相加，得积2888，至此整条算式运算完毕。

P.S.:範例圖片是一邊乘一邊加而不是像文字描述所說乘完後才加。

P.S.:范例图片是一边乘一边加而不是像文字描述所说乘完后才加。

== 除法 ==

第95行：

[[File:Kushyar ibn Labban division.GIF|缩略图|右|150px|十一世纪[[伊本·拉班]]除法也是孙子除法的翻版]]

左~~圖為計~~算<math>\frac{309}{7}</math>的演示步驟：

左图为计算<math>\frac{309}{7}</math>的演示步驟：

# 将被除数309放中排，除数7放下排，上排留空。

# 将除数7左移一位，变横码，用九九表和减法运算30÷7：30除7得4剩2，

第168行：

[[File:Sunzi sqrt.GIF|缩略图|左|220px|筹算开方术]]

[[File:Labbansqrt.GIF|缩略图|右|220px|伊本·拉班开平方术]]

[[孙子算经]]卷中：“今有積，二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

[[孙子算经]]卷中：“今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

術曰：置積二十三萬四千五百六十七步，為實，次借一算為下法，步之超一位至百而止。上商置四百于實之上，副置四萬于實之下。下法之商，名為方法；命上商四百除實，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，復置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名為廉法；方廉各命上商八十以除實，除訖，倍廉法，從方法，方法一退，下法再退，復置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除實，除訖，倍隅法，從方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一，是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。

术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上，副置四万于实之下。下法之商，名为方法；命上商四百除实，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法；方廉各命上商八十以除实，除訖，倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除实，除訖，倍隅法，从方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。

右图为筹算开方 <math>\sqrt{234567}\approx484\tfrac{311}{968}</math>。

算法如下：

* 把234567放在算籌板的由上數起的第二行上，稱之為'''實'''。

* 把234567放在算籌板的由上数起的第二行上，称之为'''实'''。

* 把一~~個標記~~“1”放置在第四行的萬位，稱為'''下法'''。

* 把一个标记“1”放置在第四行的万位，称为'''下法'''。

* 估計平方根的第一位，放在第一行（'''商'''）的百位。

* 估计平方根的第一位，放在第一行（'''商'''）的百位。

* 將商乘以下法(4×1)，把積放在第三行，稱之為'''方法'''。

* 将商乘以下法(4×1)，把积放在第三行，称之为'''方法'''。

* 將實減去商和方法的積，23-4×4=7

* 将实減去商和方法的积，23-4×4=7

* 將方法乘以2，把它移向右邊，改為橫碼。

* 将方法乘以2，把它移向右边，改为橫碼。

* 把下法向右移兩位。

* 把下法向右移两位。

* 估計平方根的第二位，放在商的十位。

* 估计平方根的第二位，放在商的十位。

* 將商乘以下法，積加到方法。

* 将商乘以下法，积加到方法。

* 8(方)×8(商的十位)=64，將74減去64，把10放到實,再將105減去8(廉)×8(商的十位)=64，再把41放回實。

* 8(方)×8(商的十位)=64，将74減去64，把10放到实,再将105減去8(廉)×8(商的十位)=64，再把41放回实。

* 把方法的個位(廉)乘以2，加到原方法80。

* 把方法的个位(廉)乘以2，加到原方法80。

* 把方法向右移，改變方向；把下法向右移兩位。

* 把方法向右移，改变方向；把下法向右移两位。

* 估計平方根的第三位。

* 估计平方根的第三位。

* 將商乘以下法(4×1)，積加到方法，此時方法應為964。

* 将商乘以下法(4×1)，积加到方法，此时方法应为964。

* 從實減去4×900+4×60+4×4=76，餘下311。

* 从实減去4×900+4×60+4×4=76，餘下311。

* 把方法的個位乘以2，加到原方法960。

* 把方法的个位乘以2，加到原方法960。

* 答案：<math>\sqrt{234567}\approx484\tfrac{311}{968}</math>

第199行：

[[九章算术]]卷第四《少广》有数道开立方题，其开立方术为后世开立方术的基础。

〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？

〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？

答曰：一百二十四尺、太半尺。

開立方術曰：置~~積為實~~。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復除，折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，訖，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。訖，令如母而一。

第210行：

右图为贾宪增乘开立方解九章算术第四卷少广〔一九〕

今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？

今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？

答曰：一百二十三尺。

第218行：

== 联立方程 ==

[[File:Fangcheng.GIF|缩略图|左|250px|联立方程]]

九章算術　卷第八　方程：

九章算术　卷第八　方程：

〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：

第229行：

下禾一秉，二斗、四分斗之三。

有三捆上等穀物，兩捆中等穀物，一捆下等穀物，共39斗；有兩捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，兩捆中等，三捆下等，共26斗。分別找出上、中、下等穀物的數量。

有三捆上等穀物，两捆中等穀物，一捆下等穀物，共39斗；有两捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，两捆中等，三捆下等，共26斗。分别找出上、中、下等穀物的数量。

方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。

方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。

{| border="0" width="300" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color:#FFFFFF"

|-align="center" bgcolor="#EFEFEF"

第259行：

| [[File:Counting rod h3.png|20px]] [[File:Counting rod v9.png|20px]]

|}

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。餘如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。餘如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

* 將中列乘以右上角的數字，即3。

* 将中列乘以右上角的数字，即3。

* 重複地從中列減去右列，直到中上角的數字為0。

* 重复地从中列減去右列，直到中上角的数字为0。

* 將左列乘以右上角的數字，即3。

* 将左列乘以右上角的数字，即3。

* 重複地從左列減去右列，直到左上角的數字為0。

* 重复地从左列減去右列，直到左上角的数字为0。

* 對中列和左列使用上述消除算法後，矩~~陣將簡~~化成三角形狀：

* 对中列和左列使用上述消除算法后，矩阵将简化成三角形狀：

{| border="0" width="300" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color:#FFFFFF"

第295行：

|}

一捆下等穀物的數量=<math>\frac{99}{36}=2\frac{3}{4}</math>斗

一捆下等穀物的数量=<math>\frac{99}{36}=2\frac{3}{4}</math>斗

一捆上等穀物=<math>9\frac{1}{4}</math>斗

第302行：

== 行列式 ==

日本数学家[[关孝和]]在《[[三部抄]]》的《[[解伏题之法]]》中，將线性方程组的係數縱橫寫成方陣的形式，发明了[[行列式]]。關孝和還提出了~~兩種計~~算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。

日本数学家[[关孝和]]在《[[三部抄]]》的《[[解伏题之法]]》中，将线性方程组的系数縱橫写成方阵的形式，发明了[[行列式]]。关孝和还提出了两种计算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。

== 高次方程 ==

第419行：

* [[增乘开平方法]]

== 註釋 ==

== 注释 ==

第433行：

[[Category:中國古代數學|C]]

[[Category:中国古代数学|C]]

[[Category:日本數學史]]

[[Category:日本数学史]]

[[Category:朝鮮古代數學]]

[[Category:朝鲜古代数学]]

[[Category:計算|C]]

[[Category:计算|C]]

[[Category:越南古代數學]]

[[Category:越南古代数学]]

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-[[File:Rod numeral positioning.JPG|缩略图|右|300px|永乐大典 宋朝筹算布位图中的數字：七萬一千八百二十四]]
+[[File:Rod numeral positioning.JPG|缩略图|右|300px|永乐大典 宋朝筹算布位图中的数字：七万一千八百二十四]]
 [[File:Counting board.jpg|缩略图|右|450px|日本带格筹算板]]
-'''筹算'''（{{lang-en|Rod calculus}}）是[[漢字文化圈]][[古代]]使用[[算筹]]进行[[十进位制]]计算的程序。
+'''筹算'''（{{lang-en|Rod calculus}}）是[[汉字文化圈]][[古代]]使用[[算筹]]进行[[十进位制]]计算的程序。
 == 历史 ==
 筹算具体出现时间已然不可考，但根据典籍记录和考古发现，{{Cn|至少在[[战国]]初年筹算已然出现。}}它使用中国[[商代]]发明的[[十进位制]]计数，可以很方便地进行[[四则运算]]以及[[乘方]]，[[开方]]等较复杂运算，并可以对[[零]]、[[负数]]和[[分数]]作出表示与[[计算]]。
-筹算在公元6世纪由中国传入[[朝鮮半島|-{zh-cn:朝鲜半岛; zh-sg:韩国; zh-hant:韓國;}-]]和[[日本]]。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。<ref>钱宝琮 《中国古代分数算法的发展》 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 392页</ref>。一直到被[[珠算]]完全取代之前，筹算是東亞古代进行日常计算的方法，算筹是東亞古代数学家研究[[数学]]时常用的计算器具，是東亞古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至東亞古代以计算为中心的机械化数学体系，与[[古希腊]]以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流<ref>吴文俊 《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》 《吴文俊文集》 2页</ref>
+筹算在公元6世纪由中国传入[[朝鲜半岛|-{zh-cn:朝鲜半岛; zh-sg:韩国; zh-hant:韩国;}-]]和[[日本]]。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。<ref>钱宝琮 《中国古代分数算法的发展》 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 392页</ref>。一直到被[[珠算]]完全取代之前，筹算是东亚古代进行日常计算的方法，算筹是东亚古代数学家研究[[数学]]时常用的计算器具，是东亚古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至东亚古代以计算为中心的机械化数学体系，与[[古希腊]]以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流<ref>吴文俊 《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》 《吴文俊文集》 2页</ref>
-== 影響 ==
+== 影响 ==
 筹算的乘除法传入印度，成为土盘算法<ref>钱宝琮 《中国古代数学的伟大成就》 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷9 383页</ref>。9世纪初至10世纪，又经印度传入阿拉伯,这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作，诸如《[[印度算术原理]]》，其土盘算式虽然用[[阿拉伯数字]]表示，但其[[十进位制]]概念，分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算雷同，有的还用空格“{{0}}”表示“0”，和筹算一模一样。有学者认为，中国古代的筹算，通过[[丝绸之路]]传入[[印度]]、[[阿拉伯]]，促成印度－阿拉伯数字体系<ref>[[新加坡大学]]教授[[蓝丽蓉]]：《阿拉伯数字体系起源于中国筹算的证据》，Fleeting Footsteps</ref>。
 == 数字表示 ==
-[[File:Chounumerals.svg|右|缩略图|200px|一到九的直型態與橫型態對照]]
+[[File:Chounumerals.svg|右|缩略图|200px|一到九的直型态与橫型态对照]]
 算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位数字或分数的系统。
-单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是並排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含[[算盘]]雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相應數字的横码。
+单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是并排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含[[算盘]]雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相应数字的横码。
 [[File:Rod231.jpg|右|缩略图|200px|使用直橫排列避免混淆]]
 大于9的数字，则用[[十进制]]表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十位数值左的位置，代表百位数，如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示法，在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30，在百位放置筹数2，代表200，总数即二百三十一（231）。《孙子算经》云：
-{{quote|凡算之法：先識其位，一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。}}
+{{quote|凡算之法：先识其位，一从十橫，百立千僵，千十相望，万百相当。}}
 筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2，3，1并排排列，有可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，每隔一位交替使用竖码横码，即个位竖码，十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以完全避免误读了<ref>[[李约瑟]] 原著 柯林‧罗南改编《中华科学文明史》卷2 第一章 数学</ref>。
 === 零的表示 ===
-[[File:Rodnumberwithzero.jpg|右|缩略图|200px|數字後加斜棍表負數]]
+[[File:Rodnumberwithzero.jpg|右|缩略图|200px|数字后加斜棍表负数]]
 中国自有筹算起就有“0”，即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零，没有特定符号，这和阿拉伯数字专有一个符号0不同，{{Cn|阿拉伯数字0只是符号零，不是运算结果。}}
 === 正负数 ===
-[[宋朝]]数学家用[[红色]]筹码代表正数，用[[黑色]]筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在數字最後一位加一根斜棍標示為负数。<ref>Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu p58 ISBN 0-486-41445-0
+[[宋朝]]数学家用[[红色]]筹码代表正数，用[[黑色]]筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在数字最后一位加一根斜棍标示为负数。<ref>Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu p58 ISBN 0-486-41445-0
 </ref>
 == 小数 ==
-[[孙子算经]]的度量衡已有十进位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六絲，用现代表示方法为71.23456尺，用算筹排为
+[[孙子算经]]的度量衡已有十进位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、丝、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六丝，用现代表示方法为71.23456尺，用算筹排为
 ::::[[File:Counting rod h7.png|20px]][[File:Counting rod v1.png|8px]][[File:Counting rod h2.png|20px]][[File:Counting rod v3.png|20px]][[File:Counting rod h4.png|20px]][[File:Counting rod v5.png|20px]][[File:Counting rod h6.png|20px]]
 其中[[File:Counting rod h7.png|20px]]为十位数，[[File:Counting rod v1.png|10px]]为个位数，[[File:Counting rod h2.png|20px]]为十分之一位等等。
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 [[File:Rod subtraction with carry.GIF|左|缩略图|180px]]
-不需向上一數量級借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左圖為計算54-23的演示步驟。
+不需向上一数量级借位的情況下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。左图为计算54-23的演示步驟。
-右圖為計算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數量級借位：
+右图为计算4231-789的演示步驟，此情況即为需要向上一数量级借位：
 # 将被减数4231放在上行，减数789放下行。从左往右逐位运筹。
 # 从千位借1为百位10，减去下行该位的7，余数3与上行2合为5，下行本位的7被取去，留空白。
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 《[[孙子算经]]》对筹算乘法有详细阐述。
-左圖即為筹算38×76的演示步驟：
+左图即为筹算38×76的演示步驟：
 # 将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位，对齐被乘数的最高位。如图：被乘数38在上排，乘数76在下排，其个位数6对齐被乘数38的3。上下排之间，留空几排，作中间积存放处。
 # 运算规则：从左至右。
-# 从被乘数的最高位开始运筹（例中即先運算30×76，再運算8×76）。在运算中必须运用[[九九表]]。据九九表「三七二十一」，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的十位，即在7之上；然後「三六一十八」；（30×76得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。
+# 从被乘数的最高位开始运筹（例中即先运算30×76，再运算8×76）。在运算中必须运用[[九九表]]。据九九表“三七二十一”，将筹码21放在中间排，1对齐乘数的十位，即在7之上；然后“三六一十八”；（30×76得中间积2280），如图中排，至此被乘数的3已经完成运算，从筹板除去。
 # 将乘数76的筹码，往右移动一位，7改横码，6改为竖码；
-# 以下再運算8×76，運算「七八五十六」，撤乘数十位数筹码7；
+# 以下再运算8×76，运算“七八五十六”，撤乘数十位数筹码7；
-# 運算「八六四十八」，4与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；
+# 运算“八六四十八”，4与上一步所得56的6合并为10，进位1，撤去被乘数个位8，撤去乘数个位6；
-# 将中间积2280与608相加，得积2888，至此整條算式运算完毕。
+# 将中间积2280与608相加，得积2888，至此整条算式运算完毕。
-P.S.:範例圖片是一邊乘一邊加而不是像文字描述所說乘完後才加。
+P.S.:范例图片是一边乘一边加而不是像文字描述所说乘完后才加。
 == 除法 ==
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 [[File:Kushyar ibn Labban division.GIF|缩略图|右|150px|十一世纪[[伊本·拉班]]除法也是孙子除法的翻版]]
-左圖為計算<math>\frac{309}{7}</math>的演示步驟：
+左图为计算<math>\frac{309}{7}</math>的演示步驟：
 # 将被除数309放中排，除数7放下排，上排留空。
 # 将除数7左移一位，变横码，用九九表和减法运算30÷7：30除7得4剩2，
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 [[File:Sunzi sqrt.GIF|缩略图|左|220px|筹算开方术]]
 [[File:Labbansqrt.GIF|缩略图|右|220px|伊本·拉班开平方术]]
-[[孙子算经]]卷中：“今有積，二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
+[[孙子算经]]卷中：“今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。
-術曰：置積二十三萬四千五百六十七步，為實，次借一算為下法，步之超一位至百而止。上商置四百于實之上，副置四萬于實之下。下法之商，名為方法；命上商四百除實，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，復置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名為廉法；方廉各命上商八十以除實，除訖，倍廉法，從方法，方法一退，下法再退，復置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除實，除訖，倍隅法，從方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一，是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。
+术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上，副置四万于实之下。下法之商，名为方法；命上商四百除实，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法；方廉各命上商八十以除实，除訖，倍廉法，从方法，方法一退，下法再退，复置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除实，除訖，倍隅法，从方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。
 右图为筹算开方 <math>\sqrt{234567}\approx484\tfrac{311}{968}</math>。
 算法如下：
-* 把234567放在算籌板的由上數起的第二行上，稱之為'''實'''。
+* 把234567放在算籌板的由上数起的第二行上，称之为'''实'''。
-* 把一個標記“1”放置在第四行的萬位，稱為'''下法'''。
+* 把一个标记“1”放置在第四行的万位，称为'''下法'''。
-* 估計平方根的第一位，放在第一行（'''商'''）的百位。
+* 估计平方根的第一位，放在第一行（'''商'''）的百位。
-* 將商乘以下法(4×1)，把積放在第三行，稱之為'''方法'''。
+* 将商乘以下法(4×1)，把积放在第三行，称之为'''方法'''。
-* 將實減去商和方法的積，23-4×4=7
+* 将实減去商和方法的积，23-4×4=7
-* 將方法乘以2，把它移向右邊，改為橫碼。
+* 将方法乘以2，把它移向右边，改为橫碼。
-* 把下法向右移兩位。
+* 把下法向右移两位。
-* 估計平方根的第二位，放在商的十位。
+* 估计平方根的第二位，放在商的十位。
-* 將商乘以下法，積加到方法。
+* 将商乘以下法，积加到方法。
-* 8(方)×8(商的十位)=64，將74減去64，把10放到實,再將105減去8(廉)×8(商的十位)=64，再把41放回實。
+* 8(方)×8(商的十位)=64，将74減去64，把10放到实,再将105減去8(廉)×8(商的十位)=64，再把41放回实。
-* 把方法的個位(廉)乘以2，加到原方法80。
+* 把方法的个位(廉)乘以2，加到原方法80。
-* 把方法向右移，改變方向；把下法向右移兩位。
+* 把方法向右移，改变方向；把下法向右移两位。
-* 估計平方根的第三位。
+* 估计平方根的第三位。
-* 將商乘以下法(4×1)，積加到方法，此時方法應為964。
+* 将商乘以下法(4×1)，积加到方法，此时方法应为964。
-* 從實減去4×900+4×60+4×4=76，餘下311。
+* 从实減去4×900+4×60+4×4=76，餘下311。
-* 把方法的個位乘以2，加到原方法960。
+* 把方法的个位乘以2，加到原方法960。
 * 答案：<math>\sqrt{234567}\approx484\tfrac{311}{968}</math>
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 [[九章算术]]卷第四《少广》有数道开立方题，其开立方术为后世开立方术的基础。
-〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？
+〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？
 答曰：一百二十四尺、太半尺。
-開立方術曰：置積為實。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復除，折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。
+开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，訖，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。訖，令如母而一。
 <math>\sqrt[3]{1937541\frac{17}{27}}=124\frac{2}{3}</math>
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 右图为贾宪增乘开立方解九章算术第四卷少广〔一九〕
-今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？
+今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
 答曰：一百二十三尺。
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 == 联立方程 ==
 [[File:Fangcheng.GIF|缩略图|左|250px|联立方程]]
-九章算術　卷第八　方程：
+九章算术　卷第八　方程：
-〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。 問上、中、下禾實一秉各幾何？
+〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？
 答曰：
@@ 第229行： / 第229行： @@
 下禾一秉，二斗、四分斗之三。
-有三捆上等穀物，兩捆中等穀物，一捆下等穀物，共39斗；有兩捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，兩捆中等，三捆下等，共26斗。分別找出上、中、下等穀物的數量。
+有三捆上等穀物，两捆中等穀物，一捆下等穀物，共39斗；有两捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，两捆中等，三捆下等，共26斗。分别找出上、中、下等穀物的数量。
-方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。
+方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。
 {| border="0" width="300" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color:#FFFFFF"
 |-align="center" bgcolor="#EFEFEF"
@@ 第259行： / 第259行： @@
 |  [[File:Counting rod h3.png|20px]] [[File:Counting rod v9.png|20px]]
 |}
-以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
+以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。餘如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。餘如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
-* 將中列乘以右上角的數字，即3。
+* 将中列乘以右上角的数字，即3。
-* 重複地從中列減去右列，直到中上角的數字為0。
+* 重复地从中列減去右列，直到中上角的数字为0。
-* 將左列乘以右上角的數字，即3。
+* 将左列乘以右上角的数字，即3。
-* 重複地從左列減去右列，直到左上角的數字為0。
+* 重复地从左列減去右列，直到左上角的数字为0。
-* 對中列和左列使用上述消除算法後，矩陣將簡化成三角形狀：
+* 对中列和左列使用上述消除算法后，矩阵将简化成三角形狀：
 {| border="0" width="300" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color:#FFFFFF"
@@ 第295行： / 第295行： @@
 |}
-一捆下等穀物的數量=<math>\frac{99}{36}=2\frac{3}{4}</math>斗
+一捆下等穀物的数量=<math>\frac{99}{36}=2\frac{3}{4}</math>斗
 一捆上等穀物=<math>9\frac{1}{4}</math>斗
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 == 行列式 ==
-日本数学家[[关孝和]]在《[[三部抄]]》的《[[解伏题之法]]》中，將线性方程组的係數縱橫寫成方陣的形式，发明了[[行列式]]。關孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。
+日本数学家[[关孝和]]在《[[三部抄]]》的《[[解伏题之法]]》中，将线性方程组的系数縱橫写成方阵的形式，发明了[[行列式]]。关孝和还提出了两种计算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。
 == 高次方程 ==
@@ 第419行： / 第419行： @@
 * [[增乘开平方法]]
-== 註釋 ==
+== 注释 ==
 {{reflist|2}}
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 {{中国数学史}}
-[[Category:中國古代數學|C]]
+[[Category:中国古代数学|C]]
-[[Category:日本數學史]]
+[[Category:日本数学史]]
-[[Category:朝鮮古代數學]]
+[[Category:朝鲜古代数学]]
-[[Category:計算|C]]
+[[Category:计算|C]]
-[[Category:越南古代數學]]
+[[Category:越南古代数学]]