最简分数：修订间差异

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'''最簡分數'''，也稱'''既约分数'''或'''不可再約分數'''（{{lang-en|Irreducible fraction}}），指的是[[分子]]與[[分母]][[互質]]的[[分數]]。
'''最简分数'''，也称'''既约分数'''或'''不可再约分数'''（{{lang-en|Irreducible fraction}}），指的是[[分子]]与[[分母]][[互质]]的[[分数]]。


若一分數可表為<math>\frac{p}{q}</math>，且<math>p , q \in \mathbb{Z}</math>（[[整數]]），<math>(p,q) = 1</math>，則稱<math>\frac{p}{q}</math>為最簡分數。假若p和q還有別的[[公因數]]，則其非最簡分數。若<math>(p,q) = d</math>，且設<math>p = k_1 d , q = k_2 d ; k_1 , k_2 \in \mathbb{Z}</math>則<math>\frac{p}{q} = \frac{k_1}{k_2}</math>。其中<math>\frac{k_1}{k_2}</math>為<math>\frac{p}{q}</math>的最簡分數。
若一分数可表为<math>\frac{p}{q}</math>，且<math>p , q \in \mathbb{Z}</math>（[[整数]]），<math>(p,q) = 1</math>，则称<math>\frac{p}{q}</math>为最简分数。假若p和q还有别的[[公因数]]，则其非最简分数。若<math>(p,q) = d</math>，且设<math>p = k_1 d , q = k_2 d ; k_1 , k_2 \in \mathbb{Z}</math>则<math>\frac{p}{q} = \frac{k_1}{k_2}</math>。其中<math>\frac{k_1}{k_2}</math>为<math>\frac{p}{q}</math>的最简分数。


最簡分數也可參閱[[有理化]]分數的公式，盡量將分子和分母互為質數<ref>E.g., see {{citation|title=The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002|first1=Olav Arnfinn|last1=Laudal|first2=Ragni|last2=Piene|publisher=Springer|year=2004|page=155|url=https://books.google.com/books?id=HiXwhBm42hcC&pg=PA155|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193326/https://books.google.com/books?id=HiXwhBm42hcC&pg=PA155|dead-url=no}}</ref>。每一個正有理數可以被表示為不可簡化的分數<ref name="unique"/>。如果分數的分子和分母劃分為它們的[[最大公因數]]，而這一項方法可以完全降低至最低的簡化條件<ref>{{citation|title=Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers|volume=10|series=MSRI mathematical circles library|first1=Judith D.|last1=Sally|first2=Paul J., Jr.|last2=Sally|author2-link=Paul Sally|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2012|isbn=9780821887981|contribution=9.1. Reducing a fraction to lowest terms|pages=131–134|url=https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193325/https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131|dead-url=no}}.</ref>。為了找出分子和分母的最小公因數，當然可以使用[[輾轉相除法]]或[[整数分解]]，就是要解決分數的分子和分母過大的問題<ref>{{citation|title=Learning Modern Algebra|series=Mathematical Association of America Textbooks|first1=Al|last1=Cuoco|first2=Joseph|last2=Rotman|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2013|isbn=9781939512017|page=33|url=https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193325/https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33|dead-url=no}}.</ref>。
最简分数也可参閱[[有理化]]分数的公式，尽量将分子和分母互为质数<ref>E.g., see {{citation|title=The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002|first1=Olav Arnfinn|last1=Laudal|first2=Ragni|last2=Piene|publisher=Springer|year=2004|page=155|url=https://books.google.com/books?id=HiXwhBm42hcC&pg=PA155|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193326/https://books.google.com/books?id=HiXwhBm42hcC&pg=PA155|dead-url=no}}</ref>。每一个正有理数可以被表示为不可简化的分数<ref name="unique"/>。如果分数的分子和分母划分为它们的[[最大公因数]]，而這一项方法可以完全降低至最低的简化条件<ref>{{citation|title=Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers|volume=10|series=MSRI mathematical circles library|first1=Judith D.|last1=Sally|first2=Paul J., Jr.|last2=Sally|author2-link=Paul Sally|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2012|isbn=9780821887981|contribution=9.1. Reducing a fraction to lowest terms|pages=131–134|url=https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193325/https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131|dead-url=no}}.</ref>。为了找出分子和分母的最小公因数，当然可以使用[[輾转相除法]]或[[整数分解]]，就是要解決分数的分子和分母过大的问题<ref>{{citation|title=Learning Modern Algebra|series=Mathematical Association of America Textbooks|first1=Al|last1=Cuoco|first2=Joseph|last2=Rotman|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2013|isbn=9781939512017|page=33|url=https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193325/https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33|dead-url=no}}.</ref>。


最簡分數例如<math>\frac{1}{3}</math>、<math>\frac{4}{19}</math>或<math>\frac{198}{17}</math>。而<math>\frac{6}{4}</math>不是，因為<math>(6,4) = 2</math>，因而<math>\frac{6}{4} = \frac{3}{2}</math>
最简分数例如<math>\frac{1}{3}</math>、<math>\frac{4}{19}</math>或<math>\frac{198}{17}</math>。而<math>\frac{6}{4}</math>不是，因为<math>(6,4) = 2</math>，因而<math>\frac{6}{4} = \frac{3}{2}</math>


== 唯一性 ==
== 唯一性 ==
每一個[[有理數]]沒有獨特性的表示正分母的不可簡化分數<ref name="unique">{{citation|title=Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College|volume=1|series=College text books, Sandhurst. Royal Military College|first=William|last=Scott|publisher=Longman, Brown, Green, and Longmans|year=1844|page=75}}.</ref>（雖然兩者<math>\tfrac{2}{3} = \tfrac{-2}{-3}</math> 都是不可簡化的分數）。唯一性是獨一無二主要因子分解的結果，自從出現 <math>\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}</math>意味著<math>ad=bc</math>，因此等號的雙邊必須共享相同的因式分解，設主要多重的因數<math>a</math>，而<math>c</math>也要出現<math>a</math>的子集，方可證明<math>ad=bc</math>。
每一个[[有理数]]沒有獨特性的表示正分母的不可简化分数<ref name="unique">{{citation|title=Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College|volume=1|series=College text books, Sandhurst. Royal Military College|first=William|last=Scott|publisher=Longman, Brown, Green, and Longmans|year=1844|page=75}}.</ref>（虽然两者<math>\tfrac{2}{3} = \tfrac{-2}{-3}</math> 都是不可简化的分数）。唯一性是獨一无二主要因子分解的结果，自从出现 <math>\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}</math>意味著<math>ad=bc</math>，因此等号的双边必须共享相同的因式分解，设主要多重的因数<math>a</math>，而<math>c</math>也要出现<math>a</math>的子集，方可证明<math>ad=bc</math>。
== 概括 ==
== 概括 ==
不可簡化的分數的概念可推論任何[[唯一分解整環]]之[[分式環]]：透過劃分分子和分母的最大公因數，這一項元素的領域中可被寫出它們的分數<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|first=Paul B.|last=Garrett|publisher=CRC Press|year=2007|isbn=9781584886907|page=183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193324/https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|dead-url=no}}.</ref>。特別適用越過其他領域的[[代數式]]。然而不可簡化的分數在給定元素上，既使是同樣的可逆元素，也是唯一較多人使用分子和分母的乘法。在有理數的情況下意旨任何數字具有兩個最簡分數，若跟分子和分母的正負號有關；在這種模糊的情況下可透過要求分母要被移除負號。在合理的功能的情況下，分母可以類似地被要求是一個首項<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|volume=242|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Pierre Antoine|last=Grillet|publisher=Springer|year=2007|isbn=9780387715681|at=Lemma 9.2, p.&nbsp;183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193324/https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|dead-url=no}}.</ref>。
不可简化的分数的概念可推论任何[[唯一分解整环]]之[[分式环]]：透过划分分子和分母的最大公因数，這一项元素的领域中可被写出它们的分数<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|first=Paul B.|last=Garrett|publisher=CRC Press|year=2007|isbn=9781584886907|page=183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193324/https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|dead-url=no}}.</ref>。特别適用越过其他领域的[[代数式]]。然而不可简化的分数在給定元素上，既使是同样的可逆元素，也是唯一较多人使用分子和分母的乘法。在有理数的情況下意旨任何数字具有两个最简分数，若跟分子和分母的正负号有关；在這种模糊的情況下可透过要求分母要被移除负号。在合理的功能的情況下，分母可以类似地被要求是一个首项<ref>{{citation|title=Abstract Algebra|volume=242|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Pierre Antoine|last=Grillet|publisher=Springer|year=2007|isbn=9780387715681|at=Lemma 9.2, p.&nbsp;183|url=https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|accessdate=2016-07-08|archive-date=2019-07-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20190712193324/https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183|dead-url=no}}.</ref>。


== 參見 ==
== 参见 ==
* [[偶然對消]]：指[[算術]]上不正確的處理，但其結果恰好是正確的。
* [[偶然对消]]：指[[算术]]上不正确的处理，但其结果恰好是正确的。
* [[丟番圖逼近]]：透過有理數中逼出實數的近似值。
* [[丟番图逼近]]：透过有理数中逼出实数的近似值。
== 參考資料 ==
== 参考资料 ==
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{{Fractions and ratios}}
{{Fractions and ratios}}
取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/最简分数”