矩阵：修订间差异

|tw = <math>m</math>列<math>n</math>行矩陣

{{Image|zh-hans=Matrix zh-hans.png|zh-hant=Matrix zh-hant.png|thumb|247px|矩陣}}

[[數學]]上，一個<math>m \times n</math>的'''矩陣'''是一个由<math>m</math>-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-（row）<math>n</math>-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-（column）元素排列成的[[矩形]]阵列。矩陣{{里}}的元素可以是[[數|数字]]、[[符号]]或数学式。

矩阵的一个重要用途是解[[线性方程组]]。线性方程组中未知量的[[系数]]可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示[[线性变换]]，即是诸如<math>f(x)=4x</math>之类的[[線性函數]]的推广。设定[[基底]]后，某个向量<math>\mathrm{v}</math>可以表示为<math>m \times 1</math>的矩阵，而线性变换<math>f</math>可以表示为-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-数为<math>m</math>的矩阵<math>A</math>，使得经过变换后得到的向量<math>f(\mathrm{v})</math>可以表示成<math>A\mathrm{v}</math>的形式。矩阵的[[特征值]]和[[特征向量]]可以揭示线性变换的深层特性。

矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于[[统计学|统计]]分析等[[应用数学]]学科中。在[[物理学]]中，矩阵在[[力学]]、[[电路学]]、[[光学]]和[[量子力学|量子物理]]等領域中都有应用；[[计算机科学]]中，[[三维动画]]制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是[[数值分析]]领域的重要问题。将[[矩阵分解]]为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如[[稀疏矩阵]]和[[准对角矩阵]]，有特定的快速运算[[算法]]。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考[[矩陣理論]]。在[[天体物理学|天体物理]]、[[量子力学]]等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

中文中矩阵的概念最早见于1922年。1922年，[[北京师范大学附属中学]]數學老師[[程廷熙]]在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。1949年,中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，[[中国自然科学名词审定委员会]]公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今<ref name="hist"/>。

== 發展 ==

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成书最迟在[[东汉]]前期的《[[九章算术]]》中，已经出现过以矩阵形式表示线性方程组系数以解方程的图例，可視為矩阵的雏形<ref>{{Harvard citations |last1=Shen |last2=Crossley |last3=Lun |year=1999 |nb=yes }}</ref>。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在[[行列式]]的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在历史上则恰好相反。日本数学家[[关孝和]]（1683年）与微積分的發現者之一[[戈特弗里德·威廉·萊布尼茨]]（1693年）近乎同时独立建立了[[行列式|行列式論]]。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，[[加布里尔·克拉默]]发现了[[克莱姆法则]]<ref name="autogenerated2002">{{Harvard citations |last1=克莱因|year=2002 |nb=yes |loc=第33章第4节}}</ref>。

[[File:Arthur Cayley.jpg|缩略图|180px|阿瑟·凯莱被认为是矩阵论的奠基人]]

进入十九世纪后，行列式的研究进一步发展，矩阵的概念也应运而生。[[奧古斯丁·路易·柯西]]是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。他还在1829年就在行列式的框架中证明了实对称矩阵特征根为实数的结论<ref>{{Harvard citations |last1=Hawkins |year=1975 |nb=yes }}</ref>。其后，[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特]]注意到，在作为行列式的计算形式以外，将数以行和列的形式作出的矩形排列本身也是值得研究的。在他希望引用数的矩形阵列而又不能用行列式来形容的时候，就用“matrix”一词来形容<ref name="autogenerated2002"/>。而在此之前，数学家已经开始将增广矩阵作为独立的对象引用了。西尔维斯特使用“matrix”一词是因为他希望讨论行列式的[[子式]]，即将矩阵的某几行和某几列的共同元素取出来排成的矩阵的行列式，所以实际上“matrix”被他看做是生成各种子式的“母-{}-体”：

|我在先前的文章中将矩形排布的序列称为“Matrix”，盖因从中可以产生出各种不同的行列式，就如由同一个母-{}-体的子宫中孕育出来一样。<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, [http://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&dq=sylvester+matrix+womb&hl=en&ei=uJakTaytCoOv8gPa5cG5Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CE8Q6AEwBw#v=onepage&q&f=false Paper 37], p. 247</ref>}}

排列成的形状是矩形，所以称为矩阵。在[[中國大陸]]，橫向的元素组称為「-{行}-」，縱向称為「-{列}-」，而在[[臺灣]]則相反，橫向称為「-{列}-」，縱向称為「-{行}-」<ref name="zjh">{{cite book|author=周建華|title=《矩陣》|year=2002|publisher=中央圖書出版社|location=台湾|isbn=9789576374913|language=zh}}</ref>。矩阵一般用大写[[拉丁字母]]表示，需要具体写出其中元素时，一般用方括号或圆括号括起。以上的矩阵<math>\mathbf{A}</math>是一个4-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-3-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-的矩阵。

行数是1或列数是1的矩阵又可分别称为[[行向量與列向量|'''行向量'''和'''列向量''']]。这是因为一个[[向量]]可以表示成行数或列数是1的矩阵形式。矩阵的任一行／列都是一个行／列向量，例如矩阵<math>\mathbf{A}</math>的第一-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-<math>\begin{bmatrix}

一个矩阵<math>\mathbf{A}</math>從左上角數起的第<math>i</math>-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第<math>j</math>-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的元素称为第<math>i,j</math>項，通常记为<math>\mathbf{A}_{i,j}</math>、<math>\mathbf{A}_{i j}</math>、<math>\mathrm{a}_{i j}</math>或<math>\mathbf{A}_{[i,j]}</math>。在上述例子中<math>\mathbf{A}_{4,3}=7</math>。如果不知道矩阵<math>\mathbf{A}</math>的具体元素，通常也会将它记成<math>\mathbf{A} = [\mathbf{a}_{i j}]_{m \times n}</math>或<math>\mathbf{A} = [\mathbf{a}_{i,j}]_{m \times n}</math>。反之，如果<math>\mathbf{A}</math>的元素可以写成只与其-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-数<math>i</math>和-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-数<math>j</math>有关的统一函数<math>f</math>，那么也可以用<math>\mathbf{A} = \left[ f(i,j) \right]_{m \times n}</math>作为<math>\mathbf{A}</math>的简写。例如<math>\mathbf{B} = \left[ i+2j \right]_{2 \times 3}</math>是矩阵

矩阵的元素可以是数字、符号或数学表达式。一般为了-{zh-cn:支持; zh-tw:支援;}-矩阵的运算，矩阵的元素之间应当能做加减法和乘法，所以是某个[[环 (代数)|环]]{{里}}的元素。最常见的是元素属于[[实数]]域或[[复数 (数学)|复数]]域的矩阵，简称为实矩阵和复矩阵。更一般的情况下，矩阵的元素可以是由一个环中的元素排成。给定一个环<math>\mathbf{R}</math>，所有由<math>\mathbf{R}</math>中元素排成的<math>m \times n</math>矩陣的[[集合 (数学)|集合]]写作<math>\mathcal{M}(m,n,\mathbf{R})</math>或<math>\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbf{R})</math>。若<math>m=n</math>，則通常記以<math>\mathcal{M}(m,\mathbf{R})</math>或<math>\mathcal{M}_m (\mathbf{R})</math>，称其为<math>n</math>维矩阵或[[方块矩阵|方阵]]。

== 矩陣的基本運算 ==

|<math>m \times n</math>矩陣<math>\mathbf{A}</math>和<math>\mathbf{B}</math>的和（差）：<math>\mathbf{A}\pm\mathbf{B}</math>為一个<math>m \times n</math>矩陣，其中每个元素是<math>\mathbf{A}</math>和<math>\mathbf{B}</math>相应元素的和（差），

| 标量<math>c</math>与矩陣<math>\mathbf{A}</math>的数乘：<math>c \mathbf{A}</math>的每个元素是<math>\mathbf{A}</math>的相应元素与<math>c</math>的乘积，

矩阵加法和数乘兩種運算使得<math>\mathcal{M}(m,n,\mathbb{R})</math>成為一个<math>m n</math>维的實數[[線性空間]]。而转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：

[[File:Matrix multiplication diagram 2.svg|缩略图|239x239px|矩阵{{math|'''A'''}}和{{math|'''B'''}}相乘得到{{math|'''AB'''}}的示意图|替代=]]

两个矩阵的乘法仅当第一个矩陣<math>\mathbf{A}</math>的-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-數(column)和另一个矩阵<math>\mathbf{B}</math>的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-數(row)相等时才能定义。如<math>\mathbf{A}</math>是<math>m \times n</math>矩陣和<math>\mathbf{B}</math>是<math>n \times p</math>矩陣，它們的'''乘積'''<math>\mathbf{AB}</math>是一個<math>m \times p</math>矩陣，它的一个元素

矩阵乘法'''不满足'''[[交换律]]。一般来说，矩陣<math>\mathbf{A}</math>及<math>\mathbf{B}</math>的乘积<math>\mathbf{AB}</math>存在，但<math>\mathbf{BA}</math>不一定存在，即使存在，大多数时候<math>\mathbf{AB}\neq\mathbf{BA}</math>。比如下面的例子：

其中，<math>\mathbf{A}</math>是由方程组里未知量的系数排成的<math>m \times n</math>[[矩陣]]，<math>\mathbf{x}</math>是含有<math>n</math>个元素的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量，<math>\mathbf{b}</math>是含有<math>m</math>个元素的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22 }}</ref>。

矩陣是线性变换的便利表達法。矩陣乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现，因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的联系：

以<math> \mathbb{R}^n</math>表示所有長度為<math>n</math>的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量的集合。每个<math>m \times n</math>的矩阵<math>\mathbf{A}</math>都代表了一个从<math> \mathbb{R}^n</math>射到<math> \mathbb{R}^m</math>的线性变换。反过来，对每個线性变换<math>f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>，都存在唯一{{math|''m''×''n''}}矩陣<math>\mathbf{A}_f</math>使得对所有<math> \mathbb{R}^n</math>中的元素<math>x</math>，<math>f(x) = A_f x</math>。这个矩阵<math>\mathbf{A}_f</math>第<math>i</math>-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第<math>j</math>-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的元素是[[正则基]]向量<math>\mathbf{e}_j = (0, \cdots ,0, 1,0, \cdots 0)^T</math>（第{{math|''j''}}个元素是1，其余元素是0的向量）在<math>f</math>映射后的向量<math>f(\mathbf{e}_j)</math>的第<math>i</math>个元素。

| 水平[[镜面反射 (数学)|鏡射]]变换

|[[相似|伸縮]]，3/2倍

|<cite id=rotation_matrix>[[旋轉]]，左转30°</cite>

设有<math>k \times m</math>的矩陣<math>\mathbf{B}</math>代表綫性變換<math>g:\mathbf{R}^m\rightarrow\mathbf{R}^k</math>，則矩陣積<math>\mathbf{BA}</math>代表了綫性變換的复合<math>g\circ f</math><ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2 }}</ref>，因为

[[矩阵的秩]]是指矩阵中[[线性相关性|线性无关]]的行／列向量的最大个数<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition II.3.3 }}</ref>，同时也是矩阵对应的线性变换的[[像 (數學)|像空间]]的维度<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.1 }}</ref>。[[秩－零化度定理]]说明矩阵的-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-数量等于矩阵的秩与[[零空间]]维度之和<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem II.3.22 }}</ref>。

[[File:Determinant Example.png|缩略图|300px|{{math|'''R'''²}}{{里}}的一个线性变换f将蓝色图形变成绿色图形，面积不变，而顺时针排布的向量{{math|''x''}}1和{{math|''x''}}2的变成了逆时针排布。对应的矩阵行列式是-1.]]

两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：<math>\det (\mathbf{AB})=\det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B})</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>。将矩阵的一行／列乘以某个系数加到另一行／列上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行／列互换则使得其行列式变号<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref>。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解（见[[克萊姆法則]]）<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>。

:<math>\det(\lambda \mathbf{I}_n - \mathbf{A}) = 0.\ </math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>这个定义中的行列式可以展开成一个关于<math>\lambda</math>的''n''阶[[多项式]]，叫做矩阵{{math|'''A'''}}的[[特征多项式]]，记为<math>p_{\mathbf{A}}</math>。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵<math>\mathbf{A}</math>特征值<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref>。[[凱萊－哈密頓定理|哈密尔顿－凯莱定理]]说明，如果用矩阵<math>\mathbf{A}</math>本身代替多项式中的不定元<math>\lambda</math>，那么多项式的值是零矩阵<ref>{{Harvard citations |last1=王萼芳|year=1997 |nb=yes|loc=4.2，定理3，第247页}}</ref>：

算法的数值稳定性是指输入值的小变化不会让计算结果产生很大偏差。例如计算[[逆矩陣|矩阵的逆]]时，可以用以下的算法（其中<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>表示<math>\mathbf{A}</math>的[[伴随矩阵]]，<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})</math>表示<math>\mathbf{A}</math>的[[行列式]]）

[[File:Jordan blocks.svg|缩略图|若尔当矩阵，其中灰色框内的是若尔当块]]

矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，也可以任意环或[[域 (數學)|域]]中元素。在线性代数中，矩阵的性质可以经由有限维的线性空间中的线性变换定义。更广泛的，无限维空间中的[[线性算子]]，则可以定义更广泛的无穷维矩阵。矩阵的另一种推广是[[张量]]。标量可以看成零维方式排列的数据（只有一个“点”），向量可以看成是一维方式排列的数据（若干个“点”排成的“线段”），矩阵可以看成是二维方式排列的数据（若干个“线段”排成的“矩形”），而张量的概念则包括了这几种排列方式。在张量的概念中，标量是零维张量，向量是一维张量，矩阵是二维張量，而更高维方式排列的数据方式就是高维张量<ref>{{Harvard citations |last1=Coburn |year=1955 |nb=yes |loc=Ch. V }}</ref>。

更一般的情况是矩阵的元素属于某个环<math>\mathbf{R}</math><ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Chapter XIII }}</ref>。环是比域更广泛的概念，只要求其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环<math>\mathbf{R}</math>，<math>\mathcal{M}(m,n,\mathbf{R})</math>中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以<math>\mathcal{M}(m,n,\mathbf{R})</math>关于矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为[[矩阵环]]。<math>n</math>维方阵的环<math>\mathcal{M}(n,\mathbf{R})</math>與左<math>\mathbf{R}</math>-[[模|模<math>\mathbf{R}^n</math>]]的[[自同態]]環[[同構]]<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=XVII.1, p. 643 }}</ref>。

若<math>\mathbf{R}</math>是[[交换环]]，則<math>\mathcal{M}(m,\mathbf{R})</math>是一个帶[[單位元]]的<math>\mathbf{R}</math>-[[代數 (環論)|代數]]，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定義[[行列式]]。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环<math>\mathbf{R}</math>中的[[可逆元]]（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Proposition XIII.4.16 }}</ref>。

=== 分塊矩陣 ===

'''[[分塊矩陣]]'''是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

可分割成4個2×2的矩陣

早期的[[密碼 (密碼學)|密码]]技术如[[希尔密码]]也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相对容易破解<ref>{{Harvard citations |last1=Stinson |year=2005 |loc=Ch. 1.1.5 and 1.2.4 |nb=yes }}</ref>。[[计算机图像处理]]也会用到矩阵来表示处理对象，并且用放射旋转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影<ref>{{Harvard citations |last1=Association for Computing Machinery |year=1979 |loc=Ch. 7 |nb=yes }}</ref>。[[多项式环]]上的矩阵在[[控制论]]中有重要作用。

[[File:Labelled undirected graph.svg|150px|缩略图|一个无向图的邻接矩阵<math>\begin{bmatrix}

[[File:Saddle point.png|左|缩略图|<math>n=2</math>时，海森矩阵<math>\begin{bmatrix}

=== 幾何光學 ===

在[[幾何光學]]裏，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了[[波粒二象性|光波波動性]]的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何[[射線]]。採用[[近軸近似]]，假若光線與[[光轴 (光学)|光軸]]之間的夾角很小，則[[透鏡]]或[[反射 (物理学)|反射]]元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的[[斜率]]、光線跟光軸之間在{{link-en|主平面|principal plane}}的垂直距離）。這矩陣稱為[[光線傳輸矩陣]]，內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：「折射矩陣」與「平移矩陣」。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。

由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。<ref>{{Harvard citations |last1=Guenther |year=1990 |nb=yes |loc=Ch. 5 }}</ref>

=== 電子學 ===

在[[電子學]]裏，傳統的{{link-en|網目分析|mesh analysis}}或[[節點分析]]會獲得一個[[線性方程組]]，這可以以矩陣來表示與計算。

很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來描述。設定<math>A</math>為輸入向量，其兩個分量為輸入電壓<math>v_1</math>與輸入電流<math>i_1</math>。設定<math>B</math>為輸出向量，其兩個分量為輸出電壓<math>v_2</math>與輸出電流<math>i_2</math>。這電子元件的電路行為可以描述為<math>B=H\cdot A</math>；其中，<math>H</math>是2×2矩陣，內有一個[[阻抗]]元素<math>h_{12}</math>、一個[[導納]]元素<math>h_{21}</math>、兩個[[無量綱]]元素<math>h_{11}</math>與<math>h_{22}</math>。這樣，電路的計算可以約化為矩陣計算。

* [[矩陣論專有名詞表]]：有關矩陣論所用到的名詞的定義

* [[矩陣範數]]

* {{Citation |last1=Mirsky |first1=Leonid |title=An Introduction to Linear Algebra |url=http://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant |publisher=Courier Dover Publications |isbn=978-0-486-66434-7 |year=1990 }}

* {{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Flannery |first2=Brian P. |last3=Teukolsky |first3=Saul A. |last4=Vetterling |first4=William T. |title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing |url=http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd |year=1992 |chapter=LU Decomposition and Its Applications |pages=34–42 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090906113144/http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |archivedate=2009-09-06 }}

* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants]

* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]

* [http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]

* {{Citation |title=Matrix Calculator (DotNumerics) |url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ |access-date=2015-01-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140904030009/http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ |archive-date=2014-09-04 |dead-url=yes }}

* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |accessdate=2008-12-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081212221215/http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |archive-date=2008-12-12 |dead-url=yes }}

* {{Citation |title=Online matrix calculator (ZK framework) |url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |accessdate=2009-11-26 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130512101418/http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |archivedate=2013-05-12 }}

* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]

[[Category:線性代數|J]]

[[Category:矩陣論|J]]