勾股定理：修订间差异

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[[古埃及]]在[[公元前]]2600年的[[纸莎草]]記載有<math>(3,4,5)</math>这一组[[勾股数]]，而[[古巴比伦]]泥板紀錄的最大的一个勾股数组是<math>(12709,13500,18541)</math>。
[[古埃及]]在[[公元前]]2600年的[[纸莎草]]記載有<math>(3,4,5)</math>这一组[[勾股数]]，而[[古巴比伦]]泥板紀錄的最大的一个勾股数组是<math>(12709,13500,18541)</math>。


有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为[[驴桥定理]]，但驴桥定理是指[[等腰三角形]]的二底角相等，非勾股定理<ref>{{Cite web|author=蔡聰明|url=http://www.bamboosilk.org/Wssf/2002/wangjiaxiang01.htm|title=從畢氏學派到歐氏幾何的誕生|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131110075429/http://www.bamboosilk.org/Wssf/2002/wangjiaxiang01.htm|archivedate=2013-11-10|accessdate=2013-08-21}}</ref>。
有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为[[驴桥定理]]，但驴桥定理是指[[等腰三角形]]的二底角相等，非勾股定理<ref>{{Cite web|author=蔡聰明|url=http://www.bamboosilk.org/Wssf/2002/wangjiaxiang01.htm|title=從畢氏學派到歐氏幾何的誕生||||accessdate=2013-08-21}}</ref>。


勾股定理有四百多個證明，如微分證明，面積證明等。
勾股定理有四百多個證明，如微分證明，面積證明等。
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== 定理 ==
== 定理 ==
在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是<math>a</math>和<math>b</math>，斜边长度是<math>c</math>，那么可以用数学语言表达：
在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是<math>a</math>和<math>b</math>，斜边长度是<math>c</math>，那么可以用数学语言表达：
::<math>a^2+b^2=c^2</math><br />
::<math>a^2+b^2=c^2</math>


[[餘弦定理]]是勾股定理的一個推广<ref>{{cite book
[[餘弦定理]]是勾股定理的一個推广<ref>{{cite book
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|publisher= 中国人民大学书报資料社
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|page = 49
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}}</ref>。勾股定理現約有400種[[数学证明|证明]]方法，是[[數學定理]]中證明方法最多的定理之一<ref>{{cite book
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|author= 李信明
|author= 李信明
第35行： 第34行：
|ISBN = 9575671511
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}}</ref>。
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=== 趙爽勾股圆方图证明法 ===
=== 趙爽勾股圆方图证明法 ===
中国[[三国]]时期[[趙爽]]为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届[[国际数学家大会]]（ICM）在[[北京]]召开。[[中国邮政]]发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。
中国[[三国]]时期[[趙爽]]为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。

[[File:Phzscn.gif|缩略图|趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画]]
[[File:Phzscn.gif|缩略图|趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画]]
2002年第24届[[国际数学家大会]]（ICM）在[[北京]]召开。[[中国邮政]]发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

[[中国科学院数学与系统科学研究院]]的院徽形象也取材自此。<ref>{{cite web | author = 中国科学院北京分院 | title = 数学与系统科学研究院标识展示 | publisher = | date = | language = zh | accessdate = 2023-07-28 | url = http://www.bjb.cas.cn/ddjs/cxwh/bszs/200403/t20040322_1848100.html }}</ref>


=== 刘徽“割补术”证明法 ===
=== 刘徽“割补术”证明法 ===
第158行： 第158行：
# 由於<math>\overline{BD}=\overline{KL}</math>，<math>\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC} = \overline{BD}\left( \overline{BK} + \overline{KC} \right) =\overline{BD}\times \overline{BC}</math>
# 由於<math>\overline{BD}=\overline{KL}</math>，<math>\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC} = \overline{BD}\left( \overline{BK} + \overline{KC} \right) =\overline{BD}\times \overline{BC}</math>
# 由於<math>CBDE</math>是個正方形，因此<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2</math>。
# 由於<math>CBDE</math>是個正方形，因此<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2</math>。
此證明是於[[歐幾里得]]《[[幾何原本]]》一書第1.47節所提出的<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節] {{Wayback|url=http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 |date=20080411165747 }}{{en}}，歐幾里德著，2006年12月19日存取</ref>
此證明是於[[歐幾里得]]《[[幾何原本]]》一書第1.47節所提出的<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節] {{en}}，歐幾里德著，2006年12月19日存取</ref>


由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的[[非欧几何]]出现。
由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的[[非欧几何]]出现。
第182行： 第182行：


=== 同一法 ===
=== 同一法 ===
構造<math>\triangle A'B'C'</math>，使<math>a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}</math>。
構造<math>\triangle A'B'C'</math>，使<math>a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\circ</math>。


根據勾股定理，<math>c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c</math>，從而<math>\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)</math>。
根據勾股定理，<math>c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c</math>，從而<math>\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)</math>。


因此，<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。
因此，<math>\angle C = 90^\circ</math>。


=== 餘弦定理 ===
=== 餘弦定理 ===
根據餘弦定理，<math>\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>。由於<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>，故<math>\cos C = 0 \,</math>，從而<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。
根據餘弦定理，<math>\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>。由於<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>，故<math>\cos C = 0 \,</math>，從而<math>\angle C = 90^\circ</math>。


=== 相似三角形 ===
=== 相似三角形 ===
第203行： 第203行：
另一方面，<math>\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c</math>，故由<math>\frac {\overline{DC}}{\overline{AD}}=\frac {\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac ab</math>知，<math>\triangle ACD \sim \triangle CBD</math>。
另一方面，<math>\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{BD}=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c</math>，故由<math>\frac {\overline{DC}}{\overline{AD}}=\frac {\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac ab</math>知，<math>\triangle ACD \sim \triangle CBD</math>。


因而，<math>\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron}</math>，所以<math>\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}</math>。
因而，<math>\angle BDC = \angle CDA = 90^\circ</math>，所以<math>\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ</math>。


=== 非欧几何 ===
=== 非欧几何 ===
{{Main|非欧几里得几何}}
{{Main|非欧几里得几何}}


勾股定理是由[[欧几里得几何]]的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的<ref name=false>{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url = http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |ISBN = 0-7624-1922-9 |year=2005}}</ref>。因为勾股定理的成立涉及到了[[平行公设]]。<ref name=Parallel>{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url = http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}}</ref><ref name= Pruss>{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |ISBN = 0-521-85959-X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url = http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11}}</ref>
勾股定理是由[[欧几里得几何]]的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的<ref name=false>{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 ||ISBN = 0-7624-1922-9 |year=2005}}</ref>。因为勾股定理的成立涉及到了[[平行公设]]。<ref name=Parallel>{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein ||page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}}</ref><ref name= Pruss>{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |ISBN = 0-521-85959-X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 }}</ref>


== 参考文献 ==
== 参考文献 ==
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== 外部連結 ==
== 外部連結 ==
取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/勾股定理”