勾股定理：修订间差异

[[File:Pythagorean.svg|缩略图|[[直角边]]的平方和等于[[斜边]]的平方]]

此定理又称'''-{zh:毕氏定理;zh-hant:毕氏定理;zh-hans:毕氏定理;zh-cn:毕氏定理;zh-sg:勾股定理;zh-hk:勾股定理;zh-mo:勾股定理;zh-tw:勾股定理}-'''、'''商高定理'''、'''新娘座椅定理'''或'''百牛定理'''。“畢氏”所指的是其中一个发现这个定理的古希腊数学家[[畢达哥拉斯]]，但历史学家相信这个定理早在畢达哥拉斯出生的一千年前已经在世界各地广泛应用。不过，现代西方数学界统一称呼它为“畢达哥拉斯定理”。

《[[周髀算经]]》记述公元前一千多年，[[商高]]以<math>(3,4,5)</math>这组勾股数为例解释了勾股定理要素<ref>{{cite|title=周髀算经|publisher=文物出版社|date=1980-03|quote=其一，“以为勾的广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”}}</ref>，论证“弦长平方必定是两直角边的平方和”，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法因后世不明其法而被忽略<ref>{{Cite web |author = 曲安京 |url = http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf|title = 商高、趙爽与刘徽关于勾股定理的证明}}</ref>。

[[古埃及]]在[[公元前]]2600年的[[纸莎草]]记载有<math>(3,4,5)</math>这一组[[勾股数]]，而[[古巴比伦]]泥板纪录的最大的一个勾股数组是<math>(12709,13500,18541)</math>。

有些参考资料提到法国和比利时将勾股定理称为[[驴桥定理]]，但驴桥定理是指[[等腰三角形]]的二底角相等，非勾股定理<ref>{{Cite web|author=蔡聰明|url=http://www.bamboosilk.org/Wssf/2002/wangjiaxiang01.htm|title=从畢氏学派到欧氏几何的诞生|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131110075429/http://www.bamboosilk.org/Wssf/2002/wangjiaxiang01.htm|archivedate=2013-11-10|accessdate=2013-08-21}}</ref>。

勾股定理有四百多个证明，如微分证明，面积证明等。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是<math>a</math>和<math>b</math>，斜边长度是<math>c</math>，那么可以用数学语言表达：

[[餘弦定理]]是勾股定理的一个推广<ref>{{cite book

|publisher= 中国人民大学书报资料社

|url = http://books.google.com.tw/books?id=6bcrAAAAMAAJ&q=%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%98%AF%E9%A4%98%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B8%AD%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%80%8B%E7%89%B9%E4%BE%8B&dq=%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%98%AF%E9%A4%98%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B8%AD%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%80%8B%E7%89%B9%E4%BE%8B&hl=en&sa=X&ei=dAYUUvnELsKkkAXezYDACQ&redir_esc=y

}}</ref>。勾股定理现约有400种[[数学证明|证明]]方法，是[[数学定理]]中证明方法最多的定理之一<ref>{{cite book

|title= 中国数学五千年

|publisher= 台湾书店

|url = http://books.google.com.tw/books?id=TZmAAAAAIAAJ&q=%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%98%AF%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B8%AD%E8%AD%89%E6%98%8E%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%9C%80%E5%A4%9A%E7%9A%84%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B9%8B%E4%B8%80&dq=%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%98%AF%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B8%AD%E8%AD%89%E6%98%8E%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%9C%80%E5%A4%9A%E7%9A%84%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B9%8B%E4%B8%80&hl=en&sa=X&ei=fwAUUtW2J8O2kgXZm4DYAQ&redir_esc=y

如果<math>c</math>是斜边的[[长度]]而a和b是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：

如果<math>a</math>和<math>b</math>知道，<math>c</math>可以这样写：

如果斜边的[[长度]]<math>c</math>和其中一条边（<math>a</math>或<math>b</math>）知道，那另一边的长度可以这样计算：

简单来说，只要知道直角三角形的其中两条边长，便能求出第三条边长。

'''勾股数组'''是满足勾股定理<math>a^2 + b^2 = c^2</math>的[[正整数]]组<math>(a,b,c)</math>，其中的<math>a,b,c</math>称为'''勾股数'''。例如<math>(3,4,5)</math>就是一组勾股数组。

== 历史 ==

这个定理的历史可以被分成三个部份：发现[[勾股数]]、发现[[直角三角形]]中边长的关系、及其定理的证明。

勾股数的发现时间较早，例如埃及的纸草书里面就有<math>(3,4,5)</math>这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是<math>(13500,12709,18541)</math>。后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载<ref>《数学辞海》第六卷，山西敎育出版社, 2002年出版，第618页。</ref>。在中国，《[[周髀算经]]》中也记述了<math>(3,4,5)</math>这一组勾股数<ref>{{cite book|title=周髀算经|quote=商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”}}</ref>；[[金朝]]数学家[[李冶 (数学家)|李冶]]在《[[测圆海镜]]》中，通过[[勾股容圆]]图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的[[天元术]]，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

[[普鲁塔克]]和[[西塞罗]]也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以[[素食主义|素食]]闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

{{cquote|若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。|《[[周髀算经]]》卷上之二}}

直至现时为止，仍有许多关于勾股定理是否不止一次被发现的辯论。

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的[[赵爽]]最早给出勾股定理的证明。{{link-en|巴勒蒂·克尔什纳·蒂尔特吉|Bharati Krishna Tirthaji}}在[[吠陀数学]]一书中聲称古代印度教吠陀证明了勾股定理。

== 证明 ==

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的''Pythagorean Proposition''一书中总共提到367种证明方式。

有人会嘗试以[[三角恒等式]]（例如：[[正弦]]和[[餘弦]]函数的[[泰勒级数]]）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见[[循环论证]]）。

中国[[三国]]时期[[趙爽]]为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届[[国际数学家大会]]（ICM）在[[北京]]召开。[[中国邮政]]发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

=== 利用相似三角形的证法 ===

[[File:Pythagoras similar triangles simplified.svg|缩略图|相似三角形的证明]]

有许多勾股定理的证明方式，都是基于[[相似]]三角形中两边长的[[正比|比例]]。

设<math>ABC</math>为一直角三角形，直角于<math>\angle C</math>（看右图）。从点''<math>C</math>''画上三角形的[[垂直|高]]，并将此高与<math>\overline{AB}</math>的交叉点称之为<math>H</math>。此新<math>\bigtriangleup ACH</math>和原本的''<math>\bigtriangleup ABC</math>''相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有<math>A</math>这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，<math>\bigtriangleup CBH</math>和<math>\bigtriangleup ABC</math>也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为

可以写成

綜合这两个方程式，我们得到

换句话说:

=== 欧几里得的证法 ===

[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|缩略图|《几何原本》中的证明]]

在[[欧几里得]]的《[[几何原本]]》一书中给出勾股定理的以下証明。设<math>\bigtriangleup ABC</math>为一直角三角形，其中''A''为直角。从''<math>A</math>''点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其餘两个正方形相等。

在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

* 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夾的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

* 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

* 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

* 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

其证明如下：

# 设<math>\triangle ABC</math>为一直角三角形，其直角为<math>\angle CAB</math>。

# 其边为<math>\overline{BC}</math>、<math>\overline{AB}</math>、和<math>\overline{CA}</math>，依序绘成四方形<math>CBDE</math>、<math>BAGF</math>和<math>ACIH</math>。

# 画出过点<math>A</math>之<math>\overline{BD}</math>、<math>\overline{CE}</math>的平行线。此线将分别与<math>\overline{BC}</math>和<math>\overline{DE}</math>直角相交于<math>K</math>、<math>L</math>。

# 分别连接<math>\overline{CF}</math>、<math>\overline{AD}</math>，形成两个三角形<math>BCF</math>、<math>BDA</math>。

# <math>\angle CBD</math>和<math>\angle FBA</math>皆为直角，所以<math>\angle ABD</math>相等于<math>\angle FBC</math>。

# 因为<math>\overline{AB}</math>和<math>\overline{BD}</math>分别等于<math>\overline{FB}</math>和<math>\overline{BC}</math>，所以<math>\triangle ABD</math>必须全等于<math>\triangle FBC</math>。

# 因为<math>A</math>与<math>K</math>和<math>L</math>在同一直线上，所以四方形<math>BDLK</math>必须二倍面积于<math>\triangle ABD</math>。

# 因为<math>C</math>、<math>A</math>和<math>G</math>在同一直线上，所以正方形<math>BAGF</math>必须二倍面积于<math>\triangle FBC</math>。

# 因此四边形<math>BDLK</math>必须和<math>BAGF</math>有相同的面积=<math>\overline{AB}^2</math>。

# 同理可证，四边形<math>CKLE</math>必须有相同的面积<math>ACIH=\overline{AC}^2</math>。

# 把这两个结果相加，<math>\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 = \overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}</math>

# 由于<math>\overline{BD}=\overline{KL}</math>，<math>\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC} = \overline{BD}\left( \overline{BK} + \overline{KC} \right) =\overline{BD}\times \overline{BC}</math>

# 由于<math>CBDE</math>是个正方形，因此<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2</math>。

此证明是于[[欧几里得]]《[[几何原本]]》一书第1.47节所提出的<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《几何原本》第1.47节] {{en}}，欧几里德著，2006年12月19日存取</ref>

=== 图形重新排列证法 ===

[[File:Pythagorean proof.svg|缩略图|以面积減算法证明]]

此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为<math>(a+b)^2</math>。把四个相等的三角形移除后，左方餘下面积为<math>a^2+b^2</math>，右方餘下面积为<math>c^2</math>，两者相等。证畢。

[[File:Pythagoras-2a.gif|缩略图|以重新排列法证明]]

[[File:Pythag anim.gif|右|缩略图|以动画方式来论证畢氏定理]]

勾股定理的逆定理是判断三角形为鈍角、銳角或直角的一个简单的方法，其中<math>\overline{AB}=c</math>为最长边:

* 如果<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>，则<math>\triangle ABC</math>是直角三角形。

* 如果<math>a^2 + b^2 > c^2 \,</math>，则<math>\triangle ABC</math>是銳角三角形（若无先前条件<math>\overline{AB}=c</math>为最长边，则该式的成立仅满足<math>\angle C</math>是銳角）。

* 如果<math>a^2 + b^2 < c^2 \,</math>，则<math>\triangle ABC</math>是鈍角三角形。

（这个逆定理其实只是[[餘弦定理]]的一个延伸）

== 逆定理的证明 ==

勾股定理的逆定理的证法数明显少于勾股定理的证法。以下是一些常见证法。

构造<math>\triangle A'B'C'</math>，使<math>a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}</math>。

根据勾股定理，<math>c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c</math>，从而<math>\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)</math>。

因此，<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。

根据餘弦定理，<math>\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>。由于<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>，故<math>\cos C = 0 \,</math>，从而<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。

从而，<math>\frac {\overline{BC}}{\overline{BA}} = \frac {\overline{BD}}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{BD}= \frac {a^2}c</math>，以及<math>\frac {\overline{CD}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{CB}}{\overline{AB}} \Rightarrow \overline{CD}= \frac {\overline{ab}}c</math>。

因而，<math>\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron}</math>，所以<math>\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}</math>。

勾股定理是由[[欧几里得几何]]的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的<ref name=false>{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url = http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |ISBN = 0-7624-1922-9 |year=2005}}</ref>。因为勾股定理的成立涉及到了[[平行公设]]。<ref name=Parallel>{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url = http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}}</ref><ref name= Pruss>{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |ISBN = 0-521-85959-X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url = http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11}}</ref>

== 外部链接 ==

== 参见 ==

{{三角函数}}