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{{noteTA |
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|G1=Math |
|G1=Math |
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|1=zh-cn: |
|1=zh-cn:協方差;zh-tw:共變異數;zh-hk:協方差; |
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|2=zh-cn:总体;zh-tw:母 |
|2=zh-cn:总体;zh-tw:母體;zh:母體; |
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{{Redirect4|-{均方差}-|均方 |
{{Redirect4|-{均方差}-|均方誤差(MSE)|均方誤差|均方根誤差(RMSE)|均方根誤差}} |
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{{Not| |
{{Not|標準誤差}} |
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''' |
'''標準差'''(又稱'''標準偏-{}-差'''、'''-{均方差}- ''',{{Lang-en|'''S'''tandard '''D'''eviation}},縮寫{{lang|en|'''SD'''}}),數學符號{{lang|el|'''[[σ]]'''}}(sigma),在[[概率]][[統計]]中最常使用作為[[測量]]一組數值的[[離散程度]]之用。標準差定義:為[[方差]]開[[算术平方根]],反映组内個體間的離散程度;標準差與[[期望值]]之比為[[標準離差率]]。測量到分佈程度的結果,原則上具有兩種性質: |
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# |
# 標準差為非負數值(因為開平方後再做平方根); |
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# |
# 標準差與測量資料具有相同單位(這樣才能比對)。 |
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一 |
一個總量的標準差或一個[[隨機變量]]的標準差,及一個[[子集合]]樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。 |
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標準差的概念由[[卡爾·皮爾森]]于19世纪末引入到統計中。 |
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== 闡述及 |
== 闡述及應用 == |
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簡單來說,標準差是一組數值自[[平均值]]分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。 |
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例如, |
例如,兩組數的[[集合 (数学)|集合]]{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。 |
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表述“相差k个标准差”,即在 {{lang|el|'''X̄ ± kS'''}} 的[[ |
表述“相差k个标准差”,即在 {{lang|el|'''X̄ ± kS'''}} 的[[樣本 (統計學)|样本]](Sample)范围内考量。 |
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標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在[[物理]][[科學]]中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的[[精確度]]。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。 |
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標準差應用於[[投資]]上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。 |
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== 母 |
== 母體的標準差 == |
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=== 基本定 |
=== 基本定義 === |
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:<math>\ SD= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> |
:<math>\ SD= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> |
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<math>\mu</math>为平均值(<math>\overline{x}</math>)。 |
<math>\mu</math>为平均值(<math>\overline{x}</math>)。 |
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=== 简化计算公式 === |
=== 简化计算公式 === |
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上述公式可以如下代 |
上述公式可以如下代換而簡化: |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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第47行: | 第47行: | ||
</math> |
</math> |
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根 |
根號裡面,亦即[[變異數]](<math>\sigma^2</math>)的簡易口訣為:「平方和的平均」減去「平均的平方」。 |
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=== 母 |
=== 母體為随机变量 === |
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一[[ |
一[[隨機變量]]<math>X</math>的標準差定義為: |
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:<math>\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}</math> |
:<math>\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}</math> |
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須注意並非所有隨機變量都具有標準差,因為有些隨機變量不存在[[期望值]]。 |
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如果 |
如果隨機變量<math>X</math>為<math>x_1, \cdots, x_n</math>具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。 |
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==== |
==== 離散随机变量的标准差 ==== |
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若<math>X</math>是由[[ |
若<math>X</math>是由[[實數]]<math>x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}</math>構成的[[随机变量|離散隨機變數]]({{Lang-en|discrete random variable}}),且每個值的'''機率相等''',則<math>X</math>的標準差定義為: |
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:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}</math> ,其中 <math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math> |
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}</math> ,其中 <math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math> |
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換成用<math>\sum</math>來寫,就成為: |
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:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> ,其中 <math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math> |
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> ,其中 <math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math> |
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目前 |
目前為止,與母體標準差的基本公式一致。 |
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然而若每 |
然而若每個<math>x_i</math>可以有'''不同機率'''<math>p_i</math>,則<math>X</math>的标准差定義為: |
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:<math>\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}</math> ,其中 <math>\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.</math> |
:<math>\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}</math> ,其中 <math>\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.</math> |
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第74行: | 第74行: | ||
==== 连续随机变量的标准差 ==== |
==== 连续随机变量的标准差 ==== |
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若<math>X</math> |
若<math>X</math>為概率密度<math>p(X)</math>的[[随机变量|连续随机变量]]({{Lang-en|continuous random variable}}),則<math>X</math>的标准差定義為: |
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:<math>\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx}</math> |
:<math>\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx}</math> |
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第88行: | 第88行: | ||
::其中: |
::其中: |
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::* <math>\mbox{cov}(X,Y)</math>表示随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>的[[协方差]]。 |
::* <math>\mbox{cov}(X,Y)</math>表示随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>的[[协方差]]。 |
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::* <math> \sigma^2(X) </math>表示<math> [ \sigma(X) ]^2 </math>,即<math>Var(X)</math>(<math> X </math>的 |
::* <math> \sigma^2(X) </math>表示<math> [ \sigma(X) ]^2 </math>,即<math>Var(X)</math>(<math> X </math>的變異數),對<math> Y </math>亦同。 |
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== 样本的标准差 == |
== 样本的标准差 == |
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在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差 |
在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。 |
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從一大組數值<math>X_1, \cdots, X_N</math>當中取出一樣本數值組合<math>x_1, \cdots, x_n : n < N</math>,常定義其'''樣本標準差''': |
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:<math> |
:<math> |
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第101行: | 第101行: | ||
样本方差<math>s^2</math>是对总体[[方差]]<math>\sigma^2</math>的[[无偏估计]]。之所以<math>s</math>中的分母要用<math>n-1</math>而不是像总体样本差那样用<math>n</math>,是因为<math>\left( x_i - \bar{x} \right)</math>的[[自由度 (统计学)|自由度]]为<math>n - 1</math>,这是由于存在约束条件<math>\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0</math>。 |
样本方差<math>s^2</math>是对总体[[方差]]<math>\sigma^2</math>的[[无偏估计]]。之所以<math>s</math>中的分母要用<math>n-1</math>而不是像总体样本差那样用<math>n</math>,是因为<math>\left( x_i - \bar{x} \right)</math>的[[自由度 (统计学)|自由度]]为<math>n - 1</math>,这是由于存在约束条件<math>\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0</math>。 |
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== |
== 範例 == |
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這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }: |
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* 第一步, |
* 第一步,計算平均值<math>\overline{x}</math>︰ |
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:<math>\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i</math> |
:<math>\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i</math> |
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: |
:當<math>\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}</math>(因為集合裏有4個數),分別設為: |
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::<math> |
::<math> |
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第118行: | 第118行: | ||
\end{align} |
\end{align} |
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</math> |
</math> |
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則平均值為 |
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:<math>\begin{align}\overline{x}&=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i & (N = 4) \\ |
:<math>\begin{align}\overline{x}&=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i & (N = 4) \\ |
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&=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right ) \\ |
&=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right ) \\ |
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第125行: | 第125行: | ||
</math> |
</math> |
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* 第二步, |
* 第二步,計算標準差<math>\sigma\,</math>︰ |
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:<math>\begin{align}\sigma &= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2} \\ |
:<math>\begin{align}\sigma &= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2} \\ |
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第137行: | 第137行: | ||
&\approx 1.58114\, .\end{align}</math> |
&\approx 1.58114\, .\end{align}</math> |
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== 常 |
== 常態分佈的規則 == |
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{{main|常 |
{{main|常態分佈}} |
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[[File:Standard deviation diagram.svg|缩略图|350px|深 |
[[File:Standard deviation diagram.svg|缩略图|350px|深藍區域是距[[平均值]]小於一個標準差之內的數值範圍,在[[常態分佈]]中,此範圍所佔比率為全部數值之'''68%''';兩個標準差之內(深藍,藍)的比率合起來為'''95%''';三個標準差之內(深藍,藍,淺藍)的比率合起來為'''99.7%'''。]] |
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在 |
在實際應用上,常考慮一組數據具有近似於[[常態分佈]]的機率分佈。若其假設正確,則約'''68%'''數值分佈在距離平均值有'''1個標準差'''之內的範圍,約'''95%'''數值分佈在距離平均值有'''2個標準差'''之內的範圍,以及約'''99.7%'''數值分佈在距離平均值有'''3個標準差'''之內的範圍。稱為「'''[[68–95–99.7原則|68-95-99.7法則]]'''」。 |
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:<math>f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 } |
:<math>f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 } |
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第155行: | 第155行: | ||
{| class="wikitable" style="font-size: " |
{| class="wikitable" style="font-size: " |
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|- |
|- |
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! rowspan=2 | |
! rowspan=2 | 數字比率<br/>標準差值 |
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! |
! 機率 |
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! colspan=2 | 包含之外比例 |
! colspan=2 | 包含之外比例 |
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第236行: | 第236行: | ||
| {{gaps|99.999|320|465|3751%}} |
| {{gaps|99.999|320|465|3751%}} |
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| {{gaps|0.000|679|534|6249%}} |
| {{gaps|0.000|679|534|6249%}} |
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| 1 / {{val|147159.5358}}<br>3.4 / {{val|1000000}} (''每一 |
| 1 / {{val|147159.5358}}<br>3.4 / {{val|1000000}} (''每一邊'') |
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| {{val|4.891638}}''σ'' |
| {{val|4.891638}}''σ'' |
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第258行: | 第258行: | ||
| 1 / {{val|100000000}} |
| 1 / {{val|100000000}} |
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| [[六 |
| [[六標準差#西格玛等级|{{val|6}}''σ'']] |
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| {{val|99.9999998027}}% |
| {{val|99.9999998027}}% |
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| {{val|0.0000001973}}% |
| {{val|0.0000001973}}% |
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第284行: | 第284行: | ||
|} |
|} |
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== |
== 標準差與平均值之間的關係 == |
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一 |
一組數據的[[平均值]]及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说,如果用平均值來考量數值的中心的话,則標準差也就是对[[机率分布|统计的分散度]]的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為:設<math>X_1, \cdots, X_N</math>為[[實數]],定義[[函数]]: |
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:<math>\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> |
:<math>\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math> |
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使用[[微 |
使用[[微積分]]或者通过[[配方法]],不難算出<math>\sigma(\mu)</math>在下面情況下具有唯一最小值: |
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:<math>\mu = \overline{x}</math> |
:<math>\mu = \overline{x}</math> |
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== 外部链接 == |
== 外部链接 == |
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* [ |
* [http://invsee.asu.edu/srinivas/stdev.html Standard Deviation Calculator],标准差计算器 {{en}} |
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{{-}} |
{{-}} |
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[[Category:概率与统计]] |
[[Category:概率与统计]] |
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[[Category:技 |
[[Category:技術分析]] |